Chủ đề này có 12 trả lời

[MrMATH]

Bài toán này được được K09 sáng tác, rất trùng hợp là nó lại đã từng có trong 1 cuốn sách của Polya mà chúng tôi sẽ có dịp giới thiệu với các bạn

Bài toán 3: Cho là các số nguyên dương. Xét dãy . Biết dãy có hữu hạn ước số nguyên tố. Chứng minh rằng

[K09]

Có thể lắm chứ, hôm nào Khánh giới thiệu cho các bạn thì tốt quá. Bài này mình tìm được khi tìm lời giải một bài trên mathlink là kì thi giải toán thường tháng của mathlink

1\ Cho các số hữu tỉ dương a, b sao cho có vô số sô nguyên dương n sao cho http://dientuvietnam...tex.cgi?a^n-b^n là số nguyên. CMR a, b là só nguyên.

Bây giờ thay dấu - bằng + ta có bài toán khác xử lý rắc rối hơn một chút.
Còn bài của mình thì là sự tương tự tự nhiên nằm trong một số kết quả nghiên cứu về dãy tổng lũy thừa ( sẽ có dịp giời thiệu trong đáp án) nhưng nói trước lời giải hoàn toàn khác.
Bài toán này ngay sau khi đưa lên có một bài cho TH 2 số được đưa lên mathlịnk khoảng 2 tuần sau dẫn đến việc có thành viên gửi cho diễn đàn tin nhắn về TH này. Thực sự mình nghĩ đây là sự trùng hợp nhất là nếu quả thật nó đã tồn tại trong sách của POLYA ( hôm nào Khánh có thể giới thiệu cho bạn đọc được không).
Các kết quả khác sẽ được trình bày trong đáp án.
Đây cũng không phải là bài toán khó vì thực sự nếu biết xác định đúng mục tiêu thì khá dễ dàng ( bằng chứng là có một số bạn giải rất tốt bài này)

[clmt]

Thực ra bài trong quyển của Polya là trường hợp n=2,em đã dựa vào đó để cm,đây là một bài toan hay đấy

[nthd]

Em tìm được 1 bài siêu tổng quát:
Chohttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|P_f|=+\inftyvới
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(n)=\sum_{i=1}^nP_i(n)a_i^n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthd: 04-01-2006 - 11:03

[tienquan88]

bài này đội tuyển toán Thanh Hóa tụi tui làm rồi có tận 3 cách lận
cả 3 cách đều rất hay ,đẹp
chú TAN post lời giải của chú lên đi ,hom sau anh post nốt cách kia

[emvaanh]

Mở rộng của bạn nthd (nguyễn thành d...???) tuy nói là siêu mở rộng nhưng lại là tương đương với một bài toán 'yếu hơn' bài toán ban đầu, đó là:" Cho n>1 số nguyên dương http://dientuvietnam...cgi?a_1,...,a_n là các số nguyên dương khi đó có một số k sao cho số http://dientuvietnam....cgi?na_1...a_n

Mở rộng là siêu mở rộng nè: Hàm f:N-->Z gọi là gần đa thức nếu f(m)-f(0) chia hết cho m với mọi m. Khi đó với mọi http://dientuvietnam...cgi?f_1,...,f_n là các hàm gần đa thức và mọi http://dientuvietnam...cgi?a_1,...,a_n là các số nguyên dương phân biệt thì tập các số có dạng có vô số ước nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 08-01-2006 - 13:49

[tanlsth]

bài này lời giải cũng không có gì
thực ra nó còn bài tổng quát sau cho N ,>1,với mọi i=1,..,n
và các số >o, N với i=1,..,n
đặt = .
cmr dãy {} chứa hữa hạn ước số nguyên tố = với mọi i j

[nemo]

[quote name='emvaanh' date='Jan 8 2006, 01:27 PM'] Mở rộng là siêu mở rộng nè: Hàm f:N-->Z gọi là gần đa thức nếu f(m)-f(0) chia hết cho m với mọi m. Khi đó với mọi http://dientuvietnam...cgi?f_1,...,f_n là các hàm gần đa thức và mọi http://dientuvietnam...cgi?a_1,...,a_n là các số nguyên dương phân biệt thì tập các số có dạng http://dientuvietnam...a_1,a_2,...,a_n và dãy các đa thức hệ số nguyên http://dientuvietnam...metex.cgi?P_i(x) không đồng nhất bằng 0, khi đó biểu thức
http://dientuvietnam...metex.cgi?P_1(x)a_1^x+P_2(x)a_2^x+...+P_n(x)a_n^x có vô hạn ước nguyên tố với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x nguyên.

Cần nói thêm rằng việc nghiên cứu tính chất của các số nguyên tố thông qua đa thức có vẻ rất hiệu quả và thực dụng chẳng hạn trong bài toán trên ta có thể đặt câu hỏi liệu có một tính chất chung nào đó cho các ước nguyên tố của một đa thức hay một biểu thức dạng trên hay không ví như các ước nguyên tố của đa thức chia đường tròn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?F(x) chỉ có thể ở một trong hai dạng là ước của n hoặc đồng dư 1 theo modulo n từ đó dẫn tới việc cấp số cộng an+1 có vô hạn số nguyên tố. Mình biết một lời giải rất đẹp cho định lý Dirichlet về cấp số cộng chứa vô hạn số nguyên tố đi theo con đường này.

[emvaanh]

Cả hai mở rộng vừa nêu đều là trường hợp riêng của siêu mở rộng mà mình nói trên. Các bạn thử xem lại xem...

[tanlsth]

Thực ra mấy cái mở rộng này đều có chung lời giải cả

[anhhong]

ai có thể cho mình 1 lời giải ko?Loại bài này thật sự mới với mình!

[1001001]

Có ai giải được bài mở rộng khi trong các hệ số của a[i] đó có số âm chưa ?Nếu được post lời giải lên đi !

[tanlsth]

Cốt yếu chỉ cần là đủ