Chủ đề này có 3 trả lời

[nolunne]

Tìm 3 số tự nhiên sao cho tổng bằng tích của chúng

 

[banhgaongonngon]

Tìm 3 số tự nhiên sao cho tổng bằng tích của chúng

 

 

Gọi $3$ số cần tìm là $a,b,c$

$(0,0,0)$ là một bộ số cần tìm nên ta chỉ xét $a,b,c\geq 1$

 

1. Trường hợp 1: $a=b=1$

Khi đó $2+c=1.c \Leftrightarrow c=1$

Vậy $(a,b,c)=(1,1,1)$ là một bộ số cần tìm.

 

2. Trường hợp 2: $a,b>1$

Có $a+b+c=abc \Leftrightarrow c=\frac{a+b}{ab-1}$

Do đó $c\in \mathbb{N}\Leftrightarrow ab-1\mid a+b $

$\Rightarrow ab-1\leq a+b\Leftrightarrow (a-1)(b-1)\leq 2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=2 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c=1$

[Ha Manh Huu]

a+b+c=abc . với a=b=c=0 là 1 nghiệm nếu a,b,c #0

chia cả 2 vế cho abc rồi giả sử $a\leq b\leq c$

suy ra $ab\leq ca\leq bc$

nên do đó $ab\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 31-05-2013 - 21:26

[PT42]

a+b+c = abc (1)

 

Trường hợp 1 : a.b.c = 0 $\Rightarrow$ a+b+c = 0 mà a, b, c $\geq 0$ $\Rightarrow$ a=b=c=0 ( thỏa mãn )

 

Trường hợp 2 a.b.c > 0 $\Rightarrow$ a, b, c > 0

Vì vai trò của a, b, c bình đẳng nên có thể giả sử $a\leq b\leq c$ $\Rightarrow$ abc = a + b + c $\leq$ 3c $\Rightarrow$ ab $\leq$ 3 ( vì c> 0 )

Mà $a\leq b$ nên $a^{2} \leq ab \leq 3$ $\Rightarrow$ a = 1

Thay a = 1 vào (1) ta có b+c+1 = bc $\Leftrightarrow$ (b-1) (c-1) = 2

Mà $0\leq b-1\leq c-1$ nên b-1 = 1, c-1 =2 $\Rightarrow$ b=2, c= 3

 

Thử lại thấy đúng $\Rightarrow$ (a, b, c) = (0, 0, 0) , (1, 2 , 3) , (1, 3, 2), ( 2, 1, 3) , ( 2, 3, 1 ) , ( 3, 1, 2 ) , ( 3, 2, 1 )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 04-06-2013 - 08:25