Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}$
$x+y+z=xyz$
#2
Đã gửi 31-05-2013 - 23:44
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}$
+Từ gt suy ra $1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\Rightarrow x+y+z=xyz\geq \sqrt{27}$
+Ta có $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)^2\Rightarrow xy+yz+zx\geq \sqrt{3}(x+y+z)$
Thay $1=\dfrac{xyz}{x+y+z}$ và áp dụng BĐT AM-GM, ta có $VP=3+\sum \sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}+x^2}=3+\sum \sqrt{\frac{x(x+y)(x+z)}{x+y+z}}=3+\sum \sqrt{\frac{4x(x+y+z)3(x+y)(x+z)}{12(x+y+z)^2}}\leq 3+\sum \frac{4x(x+y+z)+3(x+y)(x+z)}{2\sqrt{12}(x+y+z)}=3+\frac{7(x+y+z)}{2\sqrt{12}}+\frac{3(xy+yz+zx)}{2\sqrt{12}(x+y+z)}$
(1)
Ta có $\frac{7(x+y+z)}{2\sqrt{12}}\leq \frac{7(xy+yz+zx)}{12}$ (vì $xy+yz+zx\geq \sqrt{3}(x+y+z)$) (2)
$\frac{3(xy+yz+zx)}{2\sqrt{12}(x+y+z)}\leq \frac{xy+yz+zx}{12}$ (vì $ x+y+z\geq \sqrt{27}$) (3)
$3\leq \frac{xy+yz+zx}{3}$ (dễ dàng cm) (4)
Cộng các BĐT 2,3,4 và kết hợp với 1 ta có ngay đpcm
- Zaraki, mango, ongngua97 và 2 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 02-06-2013 - 16:55
Thêm cách nữa nhanh hơn nè:
Từ giả thiết ta suy ra $x(x+y+z)=x^2yz\Rightarrow x^2+1=x^2yz-xy-xz+1=(xy-1)(xz-1)\Rightarrow \sqrt{x^2+1}=\sqrt{(xy-1)(xz-1)}\leq \frac{xy+xz-2}{2}$
Thiết lập các BĐT tương tự với $y,z$ rồi cộng lại ta có ngay đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-06-2013 - 16:56
- mango, tranphuonganh97, ongngua97 và 2 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh