Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

 

[Laser Angry Bird]

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

Có phải đưa về pt hàm Cauchy không ạ?

[namcpnh]

Có phải đưa về pt hàm Cauchy không ạ?

 

Không cho dữ kiện liên tục, nên không xài được anh Cauchy .

[tran thanh binh dv class]

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

Giải như sau:

Cho $x=0$ ta có $f(y^3)=y^2.f(y)$

Cho $y=0$ ta có $f(x^3)=x^2.f(x)$

Từ đó ta có $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\forall x,y\epsilon \mathbb{R}$

Xét

$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f((x+1)^3)+f((x-1)^3)=(x+1)^2f(x+1)+(x-1)^2.f(x-1)=(2x^2+2)f(x)+4x.f(1)$

$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f(2x^3+6x)=2f(x^3)+6f(x)=2x^2.f(x)+6f(x)$

 

Từ 2 đẳng thức ta có $f(x)=f(1).x=a.x$

Thử lại ta có $f(x)=x$ thảo mẵn