Chủ đề này có 4 trả lời

[nhjm nhung]

Một tam giác có 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn (a+b-c)³ +(b+c-a)³ + ( a+c-b)³ = a³ +b³ + c^3. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

 

[banhgaongonngon]

Một tam giác có 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn (a+b-c)³ +(b+c-a)³ + ( a+c-b)³ = a³ +b³ + c^3. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

 

$\left ( a+b-c \right )^{3}+(b+c-a)^{3}+(c+a-b)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(c-b)(c-a)+3(b+c)(a-b)(a-c)+3(c+a)(b-c)(b-a)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

$\Leftrightarrow (a+b)(c-b)(c-a)+(b+c)(a-b)(a-c)+(c+a)(b-c)(b-a)=0$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó $b+c\leq c+a\leq a+b$

Theo bất đẳng thức $Schur$ suy rộng ta có

$(a+b)(c-b)(c-a)+(b+c)(a-b)(a-c)+(c+a)(b-c)(b-a)\geq 0$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Ta được đpcm.

[DarkBlood]

Một tam giác có 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn (a+b-c)³ +(b+c-a)³ + ( a+c-b)³ = a³ +b³ + c^3. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

Đặt $a+b-c=x\ ;\ b+c-a=y\ ;\ a+c-b=z.$

Khi đó: $a=\dfrac{z+x}{2}\ ;\ b=\dfrac{x+y}{2}\ ;\ c=\dfrac{y+z}{2}$

Ta có:

$$(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3=a^3+b^3+c^3$$

$$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=\left ( \dfrac{x+y}{2} \right )^3+\left ( \dfrac{y+z}{2} \right )^3+\left ( \dfrac{z+x}{2} \right )^3$$

$$\Leftrightarrow 2\left (x^3+y^3+z^3 \right )=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$

Vì $a,\ b,\ c$ là ba cạnh của một tam giác nên $a+b-c,\ b+c-a=y,\ a+c-b=z>0$ hay $x,\ y,\ z>0$

Theo bất đẳng thức $Schur,$ ta có:

$$x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$

Mặt khác theo $AM-GM,$ ta lại có $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$

Do đó $$2\left (x^3+y^3+z^3 \right )\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z\ \Leftrightarrow\ a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 01-06-2013 - 21:00

[phanducnhatminh]

Áp dụng    $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0$

                 $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

=>$(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3abc\geq (a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=(a+b+c)((a+b-c)^{2}+(b+c-a)^{2}+(a+c-b)^{2}-(a+b-c)(b+c-a)-(a+b-c)(a+c-b)-(b+c-a)(a+c-b))=(a+b+c)(4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}-4ab-4bc-4ca)= (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca+3(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca))\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc<=>(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc<=>(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=> Tam giác đều.

[Hung Ton]

Áp dụng    $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0$

                 $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

=>$(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3abc\geq (a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=(a+b+c)((a+b-c)^{2}+(b+c-a)^{2}+(a+c-b)^{2}-(a+b-c)(b+c-a)-(a+b-c)(a+c-b)-(b+c-a)(a+c-b))=(a+b+c)(4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}-4ab-4bc-4ca)= (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca+3(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca))\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc<=>(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc<=>(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=> Tam giác đều.

cái đoạn $(a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3abc\geq (a+b-c)^{3}+(b+c-a)^{3}+(a+c-b)^{3}-3(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$ 

hình như sai dấu rồi bạn ơi. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hung Ton: 05-06-2013 - 22:32