Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm min $\sum \dfrac{x-1}{y^2}$

chuyển hệ 2012-2013

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 01-06-2013 - 23:42

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$, tìm GTNN của biểu thức:

 

$$S=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-06-2013 - 23:43

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 02-06-2013 - 00:21



 

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$, tìm GTNN của biểu thức:

 

$$S=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$

 

Từ điều kiện bài toán ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(a,b,c)\Rightarrow ab+bc+ac=1$

Ta cần tìm min của $P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}-(a^2+b^2+c^2)$ với $ab+bc+ac=1$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

 $\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\frac{b^3}{ab}+\frac{c^3}{bc}+\frac{a^3}{ac} \geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{ab+bc+ac}=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$

Lại có $(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2=a^3+b^3+c^3+2(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac})$

Với $ab+bc+ac=1$, ta dễ dàng chứng minh được $2(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}) \geq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Do đó $P \geq a^3+b^3+c^3+\frac{2}{\sqrt{3}}-(a^2+b^2+c^2)$

   $\Rightarrow P \geq a^3+b^3+c^3+\frac{2}{\sqrt{3}}-\left [ (a+b+c)^2-2 \right ]$

   $\Rightarrow Q=P -(\frac{2}{\sqrt{3}}+2)\geq a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c\\q=ab+bc+ac=1 \\r=abc \end{matrix}\right.$, ta cần tìm Min $Q$

Ta có $Q=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^2=p^3-3p+3r-p^2$

Áp dụng bđt Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}\Rightarrow 3r \geq \frac{4p-p^3}{3}$

Do đó $Q \geq \frac{2p^3}{3}-p^2-\frac{5p}{3}$

Lại có $p=a+b+c \geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}$

 $\Rightarrow Q \geq f(p)=\frac{2p^3}{3}-p^2-\frac{5p}{3}$

Khảo sát $f(p)$ trên $\left [ \sqrt{3};+\infty \right )$ ta thấy $f(p) \geq f(\sqrt{3})$

Do đó $Q \geq \frac{\sqrt{3}-9}{3}$

 $\Rightarrow P \geq \frac{\sqrt{3}-9}{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 02-06-2013 - 08:52

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh