Chủ đề này có 14 trả lời

[MrMATH]

Bài 10 do K09 sáng tác

Bài toán 10:
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì phương trình luôn có nghiệm nguyên dương.

b) Cho số nguyên dương và giả sử . Chứng minh rằng mọi số hữu tỷ đều có thể được biểu diễn dưới dạng trong đó là những số nguyên dương.

[PHTH2005]

bài nay lấy lý tưởng của bài dự tuyển năm 2000 hay sao (nếu không nhầm )...bài trên là trường hợp n số..

[K09]

Đúng như thế đấy. Mình cho rằng sự kết hợp ở đây cũng khá thú vị.Còn thú vị ở chỗ dạng bài toán này còn chế tạo ra khá nhiều bài kiểu đó.
Các bạn thử suy nghĩ cho trường hợp 4 số xem sao. Tuy nhiên th này lại sử dụng nhiều kết quả mang tính thực nghiệm quá.Đề xuất của mình về bài toán này chỉ có câu b thôi nhưntg khi cân nhắc ban chọn đề đã quyết định dành ra câu a như là một gợi ý cho lời giải .

[clmt]

bài này em giải thẳng câu b luôn ,chẳng để ý gì đến gợi ý cả,bác nói em mới ngớ ra

[nthd]

Câu a nếu là nghiệm phân biệt thì sao?

[maple_ht]

Nếu là nghiệm phân biệt thì bài toán cũng đúng.

[tienvinh]

Bài này giải bằng phương pháp quy nạp nghiệm lên tùy theo chẵn hay lẻ của n

[ctlhp]

Bài a là đề chọn đội tuyển of KHTN 1990

[tienquan88]

bài này cách giải khá hay về mặt mở rộng:

a, dễ ...... chon dc 2 bộ nghiem với n=3 và n=4
sau đó quy nạp bằng cách tách 7^3y^3=6^3y^3+5^3 y^3+y^3+y^3
và 6^3 y^3= 5^3 y^3+4^3 y^3+ 3^3 y^3
b, cũng quy nạp dựa vào kết quả cau a
trước hết phải CM mọi số hữu tỷ đèu biểu diễn đc dưới dạng trên trong TH n=2( trong sách dự tuyển có lời giai)

sau đó nhân tử với 6^3 hoac 5^3 roi tách như trên

nếu giải theo cách trên có thể mở rộng lên bậc n bat ky

[MrMATH]

Hì, phép quy nạp hầu như đều dựa vào trường hợp . Và vì thế kết quả này mặc dù khá đẹp và tổng quát, nhưng có thể nói là ko quá khó (chính xác là nó ko khó hơn bài dự tuyển là bao)

Mặt khác các bạn hãy chú ý rằng trong cách phát biểu của bài toán, mệnh đề a) là gợi ý. Tuy nhiên cũng chính gợi ý đó là hạn chế của câu b) (chú ý định lý Fermat lớn với )

Hãy thử bỏ qua a), chứng minh b) ngay cả khi

Nếu chứng minh được (MrMATH tin là được ) thì có lẽ là rất thú vị, nhỉ

[duongthudao]

Điểm mấu chốt của bài này là giải với trường hợp n=3

[K09]

Cũng chả khó th bằng 3 đâu. Mình đã giải được rồi chỉ là biểu diễn số thôi mà. Tết lên sẽ post bài này . Ok

[clmt]

Bài của em cm trực tiếp n=3

[K09]

Quên bẵng đi mất mình thử post lời giải nên xem sao.Không biết có giống cách của clmt không nhưng đây là cách của anh .

Đầu tiên ta chứng minh với http://dientuvietnam...cgi?x^3 y^3-z^3 trong đó http://dientuvietnam...metex.cgi?x,y,z là các số hữu tỉ dương. ( phương pháp chứng minh giống bài biểu diễn tổng lập phương )

Từ kết quả này ta có nếu r là số hữu tỉ dương ( chú ý là kết hợp cả TH http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r=\dfrac{a^3+b^3-c^3}{e^3}=\dfrac{c^3+d^3}{f^3+g^3}.Vấn đề là chỉ cần dùng tính chất tỉ lệ thức.

Còn cm tổng quát thì không cần dùng câu a vì chỉ cần tỉ lệ thức là ra mà.

[nemo]

Nhân câu a) trong bài toán của bạn K09, xin bàn một chút về một vấn đề tương tự.

Xuất phát từ đẳng thức đẹp đẽ của các bộ ba Pitago: http://dientuvietnam...cgi?a^2=b^2 c^2, nếu nhân thêm hai vế của đẳng thức với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a^2 ta được đẳng thức mới http://dientuvietnam...tex.cgi?a^4=(ab)^2+(ac)^2 và biến đổi thành http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a^2)^2=(b^2)^2+(bc)^2+(ac)^2, như vậy ta thu được kết quả là phương trình http://dientuvietnam...{a_3}^2 {a_4}^2 có vô số nghiệm nguyên, hoàn toàn tương tự, một cách qui nap ta thu được kết quả tổng quát là, với mọi số tự nhiên http://dientuvietnam...}^2 ... {a_n}^2 luôn có vô số nghiệm nguyên. Ta cũng có thể thu được bài toán có vẻ tổng quát hơn là với mọi cặp số tự nhiên m,n thì phương trình: http://dientuvietnam...}^2 ... {b_n}^2 luôn có vô số nghiệm nguyên. Bài toán này thật ra chỉ là hệ quả của bài toán trên vì nếu giả sử http://dientuvietnam... ... {b_{k 1}^2 tương đương với đẳng thức http://dientuvietnam...}}^2 c^ ... c^2 (cộng hai vế thêm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m-1 số hạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c^2), rõ ràng đây là một nghiệm của bài toán.

Dĩ nhiên có thể giải câu a) trong bài của bạn K09 theo hướng trên.