Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 02-06-2013 - 11:41

Bài toán 42: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ .

 

Giải :

 

Đặt $P(x,y)$ là khẳng định $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$

 

a) Cần CM $f(0)=0 <=> x=0$.

 

Thật vậy nếu $f(0)\neq 0$ thì $P(0,\frac{x}{f(0)})=> f(0)=f(x)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Tức $f(x)$ là hàm hằng , tuy nhiên hàm này không thỏa. Vậy $f(0)=0$.

 

Ngoài ra nếu tồng tại $x$ mà $f(x)=0$ thì $P(x,0)=>0=x^2 <=>x=0$ => ĐPCM

 

b) CM $f(xf(x))=x^2$.

 

Thật vậy, $P(x,0)=> f(xf(x))f(0)+x^2=x^2$, vì $f(0)=0$.

 

c) CM $f(x)$ đơn ánh.

 

Ta có $P(a,b-a)=>f(af(b))=f((b-a)f(a))+a^2=f((b-a)f(a))+f(af(a))$

 

Nên $f((b-a)f(a))=f(af(b))-f(af(a))$

 

Từ đó nên nếu $f(a)=f(b)$ suy ra $f((b-a)f(a))=0$

 

=> $(b-a)f(a)=0$ ( theo a)

 

=> $\begin{bmatrix} f(a)=f(b)=0<=>a=b=0\\ b-a=0 <=> b=a \end{bmatrix}$

 

Trong 2 TH trên thì $f$ đều đơn ánh => ĐPCM

 

d) CM $f(-x)=-f(x)$

 

Thật vậy $f(xf(x))=x^2=(-x)^2=f(-xf(-x))$

 

Vì $f$ đơn ánh nên $xf(x)=-xf(-x)$ => ĐPCM

 

e) $f$ là 1 song ánh.

 

Ta chỉ cần CM $f$ là 1 toàn ánh.

 

Vì  $f(xf(x))=x^2$ nên $\mathbb{R}^+\cup (0)\subset f(\mathbb{R})$ là vì $f$ là hàm lẻ nên $f(-xf(x))=-x^2=>\mathbb{R}^-\subseteq f(\mathbb{R})$.

 

Điều này chứng tỏ $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ => ĐPCM

 

f) Nghiệm của PTH là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$

 

Thật vậy từ $f$ toàn ánh nên tồn tại $u\in \mathbb{R}$ sao cho $f(u)=1$. Khi đó vì $f(uf(u))=u^2=> f(u)=u^2=> u^2=1$ nên $u$ chỉ có 2 giá trị là $\pm 1$.

 

+) Nếu $u=1$, tức $f(1)=1$ khi đó ;

 

$P(1,x-1)=> f(f(x))=f(x-1)+1$

 

$P(1,-x-1)=> f(f(-x))=f(-x-1)+1=> -f(f(x))-f(x+1)+1$.

 

Từ đó ta có $f(x+1)=f(x-1)+2=>f(x+2)=f(x)+2=>f(x+4)=f(x)+4$

 

Lại từ $P(2,x)=> f(2f(x+2))=f(xf(2))+4=f(2x+4)$

 

=> $2f(x+2)=2x+4$ ($f$ đơn ánh)

 

=> $f(x)=x$.

 

*) Tương tự với $u=-1$ ta có nghiệm $f(x)=-x$

 

Thử lại đều thỏa.

 

Vậy có 2 hàm thỏa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:32

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 nhatminh97

nhatminh97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-06-2013 - 09:46

Cho y=0 $\rightarrow$ f(xf(x))=f(0)+x2

f(o) =c (c thuộc $\mathbb{R}$)

def f $\leq$ 1 ( do def f(xf(x)) =2)

Đặt f(x) = ax+b. thế vào thấy a=1 b=0 thỏa điều kiện.

Vậy hàm f(x)=x là hàm cần tìm.

Mong mọi người góp ý thêm. :icon1:

 

----------

 

@namcpnh:Học đánh $Latex$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 03-06-2013 - 12:04


#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-06-2013 - 12:03

Cho y=0 $\rightarrow$ f(xf(x))=f(0)+x2

f(o) =c (c thuộc $\mathbb{R}$)

def f $\leq$ 1 ( do def f(xf(x)) =2)

Đặt f(x) = ax+b. thế vào thấy a=1 b=0 thỏa điều kiện.

Vậy hàm f(x)=x là hàm cần tìm.

Mong mọi người góp ý thêm. :icon1:

 

Cái này không phải là PTH đa thức em nhé, lỡ hàm $f(x)=sinx$ thỏa thì sao?


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 06-06-2013 - 17:17

Bài toán 42: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ .

 

 

Mấy hôm nay này bị lỗi mạng, cứ lên 2p là rớt mạng nên đến hôm nay mới đăng bài giải của bài này  :luoi:   .

 

Bài này khá khó và hay, đây chính là bài cuối cùng trong đề chọn đội tuyển tỉnh Bình Phước thi VMO 2012, mình xin được đăng nguyên văn bài giải.

 

Đặt $P(x,y)$ là khẳng định $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$

 

a) Cần CM $f(0)=0 <=> x=0$.

 

Thật vậy nếu $f(0)\neq 0$ thì $P(0,\frac{x}{f(0)})=> f(0)=f(x)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

 

Tức $f(x)$ là hàm hằng , tuy nhiên hàm này không thỏa. Vậy $f(0)=0$.

 

Ngoài ra nếu tồng tại $x$ mà $f(x)=0$ thì $P(x,0)=>0=x^2 <=>x=0$ => ĐPCM

 

b) CM $f(xf(x))=x^2$.

 

Thật vậy, $P(x,0)=> f(xf(x))f(0)+x^2=x^2$, vì $f(0)=0$.

 

c) CM $f(x)$ đơn ánh.

 

Ta có $P(a,b-a)=>f(af(b))=f((b-a)f(a))+a^2=f((b-a)f(a))+f(af(a))$

 

Nên $f((b-a)f(a))=f(af(b))-f(af(a))$

 

Từ đó nên nếu $f(a)=f(b)$ suy ra $f((b-a)f(a))=0$

 

=> $(b-a)f(a)=0$ ( theo a)

 

=> $\begin{bmatrix} f(a)=f(b)=0<=>a=b=0\\ b-a=0 <=> b=a \end{bmatrix}$

 

Trong 2 TH trên thì $f$ đều đơn ánh => ĐPCM

 

d) CM $f(-x)=-f(x)$

 

Thật vậy $f(xf(x))=x^2=(-x)^2=f(-xf(-x))$

 

Vì $f$ đơn ánh nên $xf(x)=-xf(-x)$ => ĐPCM

 

e) $f$ là 1 song ánh.

 

Ta chỉ cần CM $f$ là 1 toàn ánh.

 

Vì  $f(xf(x))=x^2$ nên $\mathbb{R}^+\cup (0)\subset f(\mathbb{R})$ là vì $f$ là hàm lẻ nên $f(-xf(x))=-x^2=>\mathbb{R}^-\subseteq f(\mathbb{R})$.

 

Điều này chứng tỏ $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ => ĐPCM

 

f) Nghiệm của PTH là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$

 

Thật vậy từ $f$ toàn ánh nên tồn tại $u\in \mathbb{R}$ sao cho $f(u)=1$. Khi đó vì $f(uf(u))=u^2=> f(u)=u^2=> u^2=1$ nên $u$ chỉ có 2 giá trị là $\pm 1$.

 

+) Nếu $u=1$, tức $f(1)=1$ khi đó ;

 

$P(1,x-1)=> f(f(x))=f(x-1)+1$

 

$P(1,-x-1)=> f(f(-x))=f(-x-1)+1=> -f(f(x))-f(x+1)+1$.

 

Từ đó ta có $f(x+1)=f(x-1)+2=>f(x+2)=f(x)+2=>f(x+4)=f(x)+4$

 

Lại từ $P(2,x)=> f(2f(x+2))=f(xf(2))+4=f(2x+4)$

 

=> $2f(x+2)=2x+4$ ($f$ đơn ánh)

 

=> $f(x)=x$.

 

*) Tương tự với $u=-1$ ta có nghiệm $f(x)=-x$

 

Thử lại đều thỏa.

 

Vậy có 2 hàm thỏa.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh