Chủ đề này có 1 trả lời

[henry0905]

Cho a;b là các số nguyên dương sao cho (a;b)=1. Chứng minh rằng $N_{0}=ab-a-b$ là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng ax+by với x;y là các số nguyên không âm.

Mở rộng: Chứng minh giữa 2 số nguyên n, $N_{0}-n$, có đúng một trong hai số biểu diễn được dưới dạng ax+by với x, y là các số nguyên không âm.

[Sagittarius912]

Cho a;b là các số nguyên dương sao cho (a;b)=1. Chứng minh rằng $N_{0}=ab-a-b$ là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng ax+by với x;y là các số nguyên không âm.

Mở rộng: Chứng minh giữa 2 số nguyên n, $N_{0}-n$, có đúng một trong hai số biểu diễn được dưới dạng ax+by với x, y là các số nguyên không âm.

Cái này mình thấy 1 lần ở Mathscope nhưng bây giờ tìm lại link thì không có, may mà ghi lại
Theo định lí Bezout, luôn tồn tại cặp số nguyên $x,y$ sao cho $ax+by=n$.
Vì $ax+by=a(x-bt)+b(at+y)$  ta luôn có thể tăng giảm giá trị của x một số nguyên lần bội b. Do dó ta giả sử được $0\le x\le b-1$. Hơn nữa $n=ax+by$ biểu diễn được khi và chỉ khi nó cũng biểu diễn được thi thêm điều kiện  $0\le x\le b-1$

Đặt $x=ax'+by$. $N_0  -x =as+bt$ $\left ( 0\le x',y,s,t\le b\in\mathbb{Z} \right )$

Khi đó $ax'+by+as+bt=ab-a-b$

$\Leftrightarrow ab-(x'+s+1)a-b(y+t+1)=0$
Vì $(a,b)=1$ nên $b\mid x'+s+1$

mà $1\le x'+s+1 \le 2b-1$ $\Rightarrow x'+s+1=b$
Phương trình trên trở thành $y+t+1=0$
Do đó có đúng 1 trong 2 số $y,t \ge 0$
Như vậy có đúng 1 trong 2 số $x,N_0-x$ biểu diễn được