Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm miền hội tụ:$\sum\limits_{n=1}^\infty {{{(-1)}^n}\frac{{n!}}{{{n^n}}}{{(x-3)}^{2n}}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
Elnjno

Elnjno

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Tìm miền hội tụ:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{{( - 1)}^n}\frac{{n!}}{{{n^n}}}{{(x - 3)}^{2n}}} $

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Elnjno: 02-06-2013 - 22:27


#2
sieumau88

sieumau88

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đặt_ $X=(x-3)^2$ _ , _ khi đó chuỗi đã cho thành $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(-1\right)^n \dfrac{n!}{n^n} \cdot X^n$

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\left [ \dfrac{\left ( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right ] = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\left (1+\frac{1}{n}  \right )^n} = \dfrac{1}{e}$
 

Vậy khoảng hội tụ là_ ($-e$ ; $e$)___ $\Leftrightarrow -\sqrt{e} +3 < x < \sqrt{e}+3$
 
Khi_ $x=\pm \sqrt{e}+3$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$
Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \dfrac{e^{n+1}.\left( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{e^n.n!} = \dfrac{e .n^n}{\left (n+1 \right )^n} = \dfrac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n} \rightarrow 1$
 Tuy nhiên vì__$\left (1+\dfrac{1}{n}  \right )^n < e$ __nên__$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} > 1$
Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ ($-\sqrt{e} +3$ ; $\sqrt{e}+3$) .


48068210.jpg


#3
tansangxtt

tansangxtt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Đặt_ $X=(x-3)^2$ _ , _ khi đó chuỗi đã cho thành $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(-1\right)^n \dfrac{n!}{n^n} \cdot X^n$

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\left [ \dfrac{\left ( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right ] = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\left (1+\frac{1}{n}  \right )^n} = \dfrac{1}{e}$
 

Vậy khoảng hội tụ là_ ($-e$ ; $e$)___ $\Leftrightarrow -\sqrt{e} +3 < x < \sqrt{e}+3$
 
Khi_ $x=\pm \sqrt{e}+3$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$
Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \dfrac{e^{n+1}.\left( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{e^n.n!} = \dfrac{e .n^n}{\left (n+1 \right )^n} = \dfrac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n} \rightarrow 1$
 Tuy nhiên vì__$\left (1+\dfrac{1}{n}  \right )^n < e$ __nên__$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} > 1$
Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ ($-\sqrt{e} +3$ ; $\sqrt{e}+3$) .

 

Cho em hỏi tại sao giới hạn $\frac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n}$ lại không tồn tại. Theo em biết thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{ \left(1+\frac{1}{n}\right )^n} = e$. Như vậy thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{\frac{e}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n}} = \frac{\lim_{n\rightarrow +\infty}{e} }{\lim_{n\rightarrow +\infty}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n }}=\frac{e}{e}=1 (?)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tansangxtt: 12-06-2013 - 10:28


#4
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Giới hạn trên c ấy ghi là 1 r mà bạn.



#5
tansangxtt

tansangxtt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Giới hạn trên c ấy ghi là 1 r mà bạn.

 

Về sau ta xét chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$. Sử dụng d' Alembert thì $L = \lim_{n\rightarrow +\infty}{\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right |} = 1$ nên ta chưa thể kết luận được. Em muốn hỏi, tại sao khi L = 1, ta chứng minh $\left | \frac{u_{n+1}}{u_n} \right | >1$ thì chuỗi phân kì 



#6
sieumau88

sieumau88

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Cho em hỏi tại sao giới hạn $\frac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n}$ lại không tồn tại. Theo em biết thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{ \left(1+\frac{1}{n}\right )^n} = e$. Như vậy thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}{\frac{e}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n}} = \frac{\lim_{n\rightarrow +\infty}{e} }{\lim_{n\rightarrow +\infty}{\left(1+ \frac{1}{n}\right )^n }}=\frac{e}{e}=1 (?)$

 
Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnit thì ĐK cần là $u_{n+1}<u_{n}$ $\left ( _{*} \right )$
Đúng là khi tính lim thì giới hạn nó tiến về 1 chưa KL đc .
Nhưng $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n < e$

Do ta lấy giới hạn của $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ thì $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ mới bằng $e$ , bạn nhé) .
Vì thế $u_{n+1}>u_{n}$ $\rightarrow$ Ko thỏa đk $\left ( _{*} \right )$
Vậy chuỗi phân kỳ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieumau88: 12-06-2013 - 13:49

48068210.jpg


#7
tansangxtt

tansangxtt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Tại em thấy tiêu chuẩn Leibniz nói: Cho $(a_k)$ là dãy giảm, không âm, hội tụ về 0. Khi đó chuỗi $\sum{ \left (-1 \right )^ka_k}$ được gọi là chuỗi đan dấu Leibniz hội tụ.

 

Như vậy, nếu chuỗi phân kì thì không thỏa các giả thiết trên (phủ định). Câu hỏi nảy sinh là chuỗi không thỏa giả thiết trên có phân kì hay không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tansangxtt: 12-06-2013 - 14:51


#8
hoangcuong12a3

hoangcuong12a3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

bổ sung thêm ý kiến để giải thích thêm cho bạn tansangxtt

do $(1+\frac{1}{n})^{n}\rightarrow e$ khi $n\rightarrow +\infty$ và dãy $(1+\frac{1}{n})^{n}$ tăng nghiêm cách nên $\lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{n})^{n}$ < e

lên tỉ số đó mới > 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangcuong12a3: 12-06-2013 - 20:51


#9
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Tại em thấy tiêu chuẩn Leibniz nói: Cho $(a_k)$ là dãy giảm, không âm, hội tụ về 0. Khi đó chuỗi $\sum{ \left (-1 \right )^ka_k}$ được gọi là chuỗi đan dấu Leibniz hội tụ.

 

Như vậy, nếu chuỗi phân kì thì không thỏa các giả thiết trên (phủ định). Câu hỏi nảy sinh là chuỗi không thỏa giả thiết trên có phân kì hay không?

Với chuỗi đan dấu thì dãy số hạng phải thỏa điều kiện Leibniz mới hội tụ bạn nhé nên chuỗi đan dấu k thỏa 2 đk đấy sẽ phân kì.



#10
maxolo

maxolo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Với chuỗi đan dấu thì dãy số hạng phải thỏa điều kiện Leibniz mới hội tụ bạn nhé nên chuỗi đan dấu k thỏa 2 đk đấy sẽ phân kì.

 


 

Với chuỗi đan dấu thì dãy số hạng phải thỏa điều kiện Leibniz mới hội tụ bạn nhé nên chuỗi đan dấu k thỏa 2 đk đấy sẽ phân kì.

 

Nhận xét này chưa đúng. Có chuỗi đan dấu không thỏa mãn 2 điều kiện mà vẫn hội tụ. Điều này do điều kiện dãy $u_n$ giảm hơi quá nghiêm ngặt. Nếu ta chọn dãy $u_n$ hầu như giảm, nhưng thỉnh thoảng, chẳng hạn tại các chỉ số dạng $k^2$, ta đổi chỗ $u_{k^2}$ và $u_{k^2+1}$ thì chuỗi vấn hội tụ.

 

Nhìn chung, tính hội tụ của một chuỗi có thể vẫn bảo toàn nếu ta thay đổi chuỗi một chút xíu; nói trừu tượng hơn, trong một topo phù hợp của không gian các chuỗi, tập các chuỗi hội tụ là mở. Trong khi đó, tính giảm của chuỗi quá nghiêm ngặt.

 

Trong bài này, khi $|u_{k+1}|/|u_k| >1$ thì dễ thấy dãy các số hạng không hội tụ về không nên (dù đan dấu hay không) chuỗi đều phân kì.



#11
tansangxtt

tansangxtt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Nhận xét này chưa đúng. Có chuỗi đan dấu không thỏa mãn 2 điều kiện mà vẫn hội tụ. Điều này do điều kiện dãy $u_n$ giảm hơi quá nghiêm ngặt. Nếu ta chọn dãy $u_n$ hầu như giảm, nhưng thỉnh thoảng, chẳng hạn tại các chỉ số dạng $k^2$, ta đổi chỗ $u_{k^2}$ và $u_{k^2+1}$ thì chuỗi vấn hội tụ.

 

Nhìn chung, tính hội tụ của một chuỗi có thể vẫn bảo toàn nếu ta thay đổi chuỗi một chút xíu; nói trừu tượng hơn, trong một topo phù hợp của không gian các chuỗi, tập các chuỗi hội tụ là mở. Trong khi đó, tính giảm của chuỗi quá nghiêm ngặt.

 

Trong bài này, khi $|u_{k+1}|/|u_k| >1$ thì dễ thấy dãy các số hạng không hội tụ về không nên (dù đan dấu hay không) chuỗi đều phân kì.

 

 

Có thể cho em một ví dụ để thấy rõ điều này được không anh

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tansangxtt: 13-06-2013 - 20:52


#12
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Với chuỗi đan dấu thì dãy số hạng phải thỏa điều kiện Leibniz mới hội tụ bạn nhé nên chuỗi đan dấu k thỏa 2 đk đấy sẽ phân kì.

Cái này bạn sai rồi, nếu nó thỏa thì sẽ hội tụ nhưng không thỏa bạn không thể nói nó phân kì được


Tào Tháo


#13
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

 
Khi_ $x=\pm \sqrt{e}+3$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$
Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \dfrac{e^{n+1}.\left( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{e^n.n!} = \dfrac{e .n^n}{\left (n+1 \right )^n} = \dfrac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n} \rightarrow 1$
 Tuy nhiên vì__$\left (1+\dfrac{1}{n}  \right )^n < e$ __nên__$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} > 1$
Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ ($-\sqrt{e} +3$ ; $\sqrt{e}+3$) .

Tiêu chuẩn nào đây??? Áp dụng tiêu chuẩn Da Lăm Be cho chuỗi đan dấu, bái phục bạn rồi. Ngoài laibniz ra không được áp dụng những cái này, tiêu chuẩn tích phân, cô-si hay đa lăm be đầu là các tiêu chuẩn áp dụng cho chuỗi dương, sai bét rồi!


Tào Tháo


#14
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

 

 

Nhìn chung, tính hội tụ của một chuỗi có thể vẫn bảo toàn nếu ta thay đổi chuỗi một chút xíu; nói trừu tượng hơn, trong một topo phù hợp của không gian các chuỗi, tập các chuỗi hội tụ là mở. Trong khi đó, tính giảm của chuỗi quá nghiêm ngặt.

 

Trong bài này, khi $|u_{k+1}|/|u_k| >1$ thì dễ thấy dãy các số hạng không hội tụ về không nên (dù đan dấu hay không) chuỗi đều phân kì.

 

Tính hội tụ của chuỗi không đổi nếu ta bớt đi 1 hữu hạn số hạng đầu hoặc thêm vào một hữu hạn số hạng. Công lực về không gian vecto vẫn còn hạn chế nên bạn nói những khái niệm topo đại cương thì quá là to tát, mà trong hầu hết các chương trình toán cao cấp họ không muốn đề cập đến mà chỉ học lý thuyết cơ bản, trừ các trường ngành toán mới chuyên sâu về lĩnh vực này, còn $|u_{k+1}|/|u_k| >1$ nó có cho thấy ý nghĩa gì không? để kết luận dãy các số hạng không hội tụ về không? Nếu bạn nói vậy hãy chứng minh, thật sự những gì bạn nói quá hàn lâm, dành cho chuyên ngành toán mới cần hiểu


Tào Tháo


#15
tansangxtt

tansangxtt

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết


Tiêu chuẩn nào đây??? Áp dụng tiêu chuẩn Da Lăm Be cho chuỗi đan dấu, bái phục bạn rồi. Ngoài laibniz ra không được áp dụng những cái này, tiêu chuẩn tích phân, cô-si hay đa lăm be đầu là các tiêu chuẩn áp dụng cho chuỗi dương, sai bét rồi!

Bạn hãy xem lại kiến thức của mình và đọc lại những bài ở trên, xem người ta nói gì, viết gì, đừng chỉ đọc đoạn giữa rồi phán xét.

 

Với chuỗi có dấu tùy ý thì ta xét xem nó có hội tụ tuyệt đối không, nghĩa là xét $lim \sqrt[n]{|a_n|}$ với tiêu chuẩn căn số cauchy hoặc $lim \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |$  d'Alembert. Nếu nó hội tụ tuyệt đối thì sẽ hội tụ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tansangxtt: 14-06-2013 - 07:49


#16
maxolo

maxolo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Tính hội tụ của chuỗi không đổi nếu ta bớt đi 1 hữu hạn số hạng đầu hoặc thêm vào một hữu hạn số hạng. Công lực về không gian vecto vẫn còn hạn chế nên bạn nói những khái niệm topo đại cương thì quá là to tát, mà trong hầu hết các chương trình toán cao cấp họ không muốn đề cập đến mà chỉ học lý thuyết cơ bản, trừ các trường ngành toán mới chuyên sâu về lĩnh vực này, còn $|u_{k+1}|/|u_k| >1$ nó có cho thấy ý nghĩa gì không? để kết luận dãy các số hạng không hội tụ về không? Nếu bạn nói vậy hãy chứng minh, thật sự những gì bạn nói quá hàn lâm, dành cho chuyên ngành toán mới cần hiểu

Thứ nhất, về mấy cái bạn bảo to tát, mình chỉ nói đó là một cách nhìn chứ không phải dùng nó để giải thích cái gì cả. Còn về $|u_{k+1}/|u_{k}|>1|$ suy ra ngay, $|u_{n}|  > |u_{n_0}|$ với $n_0$ cố định (đủ lớn để $|u_{k+1}/|u_{k}|>1|$ xảy ra). Từ đó $|u_n|$ không thể hội tụ về $0$ và do đó $u_n$ cũng không thể hội tụ về 0.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maxolo: 14-06-2013 - 21:53


#17
maxolo

maxolo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

 

 

 

Có thể cho em một ví dụ để thấy rõ điều này được không anh

 

Bạn lấy dãy $a_n = (-1)^n/n$ với $n$ không chính phương và $a_{k^2}=(-1)^{k^2}1/k^4$ thử xem. 



#18
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Bạn hãy xem lại kiến thức của mình và đọc lại những bài ở trên, xem người ta nói gì, viết gì, đừng chỉ đọc đoạn giữa rồi phán xét.

 

Với chuỗi có dấu tùy ý thì ta xét xem nó có hội tụ tuyệt đối không, nghĩa là xét $lim \sqrt[n]{|a_n|}$ với tiêu chuẩn căn số cauchy hoặc $lim \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |$  d'Alembert. Nếu nó hội tụ tuyệt đối thì sẽ hội tụ

Bạn xem lại người ta có xét là chuỗi hội tụ tuyệt đối hay không? có chữ nào nói vậy không? nếu nói là xét hội tụ tuyệt đối mà trong khi kết quả trên là nó phân kì thì chẳng ý nghĩa gì cả, bạn mới là người xem lại kiến thức, giải tích 2 không học nhiều nhưng cái này không thể nói sai!


Tào Tháo


#19
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Bạn hãy xem lại kiến thức của mình và đọc lại những bài ở trên, xem người ta nói gì, viết gì, đừng chỉ đọc đoạn giữa rồi phán xét.

 

Với chuỗi có dấu tùy ý thì ta xét xem nó có hội tụ tuyệt đối không, nghĩa là xét $lim \sqrt[n]{|a_n|}$ với tiêu chuẩn căn số cauchy hoặc $lim \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |$  d'Alembert. Nếu nó hội tụ tuyệt đối thì sẽ hội tụ

Điều này bạn nói là đúng, nhưng nó không có tác dụng sửa lỗi cho bài trên, 1 chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệt đối, nhưng đã hội tụ tuyệt đối thì nó phải hội tụ, vậy theo bài trên:

 

Đặt_ $X=(x-3)^2$ _ , _ khi đó chuỗi đã cho thành $\sum_{n=1}^{+\infty} \left(-1\right)^n \dfrac{n!}{n^n} \cdot X^n$

$\lim_{n \to \infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\left [ \dfrac{\left ( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{n!} \right ] = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\left (1+\frac{1}{n}  \right )^n} = \dfrac{1}{e}$
 

Vậy khoảng hội tụ là_ ($-e$ ; $e$)___ $\Leftrightarrow -\sqrt{e} +3 < x < \sqrt{e}+3$
 
Khi_ $x=\pm \sqrt{e}+3$ _, chuỗi đã cho có dạng_ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$
Ta có__ $\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \dfrac{e^{n+1}.\left( n+1 \right )!}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{e^n.n!} = \dfrac{e .n^n}{\left (n+1 \right )^n} = \dfrac{e}{\left (1+\frac{1}{n} \right )^n} \rightarrow 1$
 Tuy nhiên vì__$\left (1+\dfrac{1}{n}  \right )^n < e$ __nên__$\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} > 1$
Vậy__ $\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( -1 \right )^n \cdot \dfrac{n!}{n^n} \cdot e^n$__phân kỳ .
 
Kết luận , miền hội tụ của chuỗi đã cho là_ ($-\sqrt{e} +3$ ; $\sqrt{e}+3$) .

Nếu bạn nói là sieumau88 đang xét hội tụ tuyệt đối nếu cứ cho là đúng thì bạn chẳng biện hộ được gì cả, đúng không? kết quả nó ra là phân kì với $x=-1$, mà phân kì không thể dùng được hội tụ tuyệt đối, bạn còn gì chỉ giáo không?? sai kiến thức cơ bản rồi đó!


Tào Tháo


#20
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Thứ nhất, về mấy cái bạn bảo to tát, mình chỉ nói đó là một cách nhìn chứ không phải dùng nó để giải thích cái gì cả. Còn về $|u_{k+1}/|u_{k}|>1|$ suy ra ngay, $|u_{n}|  > |u_{n_0}|$ với $n_0$ cố định (đủ lớn để $|u_{k+1}/|u_{k}|>1|$ xảy ra). Từ đó $|u_n|$ không thể hội tụ về $0$ và do đó $u_n$ cũng không thể hội tụ về 0.

Đúng là 1 cách nhìn, không dùng giải thích,hình như bạn được học khá sâu về không gian vector,topo đại cương vì bạn trích dẫn khá nhiều khái niệm trừu tượng, trong các giáo trình thường không có


Tào Tháo





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh