Bài 3
Gọi các gtr của ma trận $A$ là $x_i i=1..n$ (các $x_i$ có thể trùng nhau)
yêu cầu bài toán tương đương
$\frac{\prod_{1}^{n}(x_i)}{\prod_{1}^{n}(1-x_i)}< \begin{pmatrix}\frac{n}{2n-2\sum_{1}^{n}x_i}\end{pmatrix}^n$ với $ x_i \in (0,\frac{1}{2})$
$\Leftrightarrow \frac{\prod_{1}^{n}(x_i)}{\prod_{1}^{n}(1-x_i)}< \begin{pmatrix} \frac{\frac{n}{2}}{\sum_{1}^{n}(1-x_i)} \end{pmatrix}^n$
ta chứng minh bdt trên.đặt $a_i=\frac{x_i}{1-x_i}$ ( $a_i\in (0,1)$ ) khi đó bất dẳng thức được viết lại
$\prod_{1}^{n}a_i< \begin{pmatrix} \frac{\frac{n}{2}}{\sum_{1}^{n}\frac{1}{1+a_i}}\end{pmatrix}^n$
$\Leftrightarrow \sum_{1}^{n}\frac{1}{1+a_i}< \frac{n}{2}.\frac{1}{\sqrt[n]{\prod_{1}^{n}a_i}}$
Chứng minh bdt này (mình dùng phương pháp quy nạp cauchy không được hay lắm)
+ta chứng minh bdt trên đúng với $n=2^k$
- bdt đúng với $n=2^k$ (rất dễ) với gợi ý ($\sum_{1}^{n}\frac{1}{1+a_i}\leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{1}^{n}a_i}}\leq \frac{n}{2}.\frac{1}{\sqrt[n]{\prod_{1}^{n}a_i}}$và $\prod_{1}^{n}a_i< 1$nhớ rằng ta đang làm cho $n=2^k$ ))
+Giả sử bdt đúng với $n=k$ ta chứng minh nó đúng với $n=k-1$ (đây là cách quy nạp cauchy)
chọn $a_k=\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}$ áp dụng giả thiet quy nạp ta có
$\sum_{1}^{k}\frac{1}{1+a_i}\leq \frac{\frac{k}{2}}{\sqrt[k]{\prod_{1}^{k}a_i}}$
$\Leftrightarrow \sum_{1}^{k-1}\frac{1}{1+a_i}\leq \frac{k}{2}.\frac{1}{\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}}-\frac{1}{1+\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}}$
$\Leftrightarrow \sum_{1}^{k-1}\frac{1}{1+a_i}\leq \frac{\frac{k-1}{2}}{\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}}$
vì $\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}}\geq \frac{1}{1+\sqrt[k-1]{\prod_{1}^{k-1}a_i}}$ (chú ý $\prod_{1}^{k-1}a_i< 1$)
vậy nó đúng với $n=k-1$
suy ra nó đúng với mọi $n$."$=$" xảy ra khi $a_i=1\forall i$ mà giả thiết $a_i\in (0,1)$ nên dấu bằng không xảy ra.bdt được chứng minh!!!
suy ra bài toán chứng minh xong!!!
p/s:bdt này mình chứng minh chưa hay mong các bạn chỉ dạy thêm "ngu lâu dốt bền khó đào tạo"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 08-06-2013 - 13:17
.Chúng ta tiếp tục nào 
.Còn về cái module thì quá rõ ràng 
,rất mong bạn và các bạn khác cùng tham gia trao đổi 
