Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2$ cm abcd là


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 trannguyen1998

trannguyen1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2013 - 20:36

cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau có $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2$ cm abcd là SCP; mình xin lỗi nha cái tiêu đề mình viết đề sai rồi cái trên mới đúng. mọi người giải giúp nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trannguyen1998: 04-06-2013 - 20:43


#2 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 04-06-2013 - 20:43

cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2$ cm abcd là SCP

Theo BĐT nesbit thì ta có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}\geq 2.

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d nên $abcd=a^{4}=b^{4}=c^{4}=d^{4}$ là một số chính phương!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 04-06-2013 - 20:44

:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#3 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 04-06-2013 - 20:45

Còn BĐT nesbit thì bạn xem chứng minh ở đây nha! http://diendantoanho...adfracdabgeq-2/


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#4 trannguyen1998

trannguyen1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2013 - 20:50

cám ơn bạn nhé. mình chưa rành sd bdt lắm. chĩ biết xài 2 cái đơn giản là cauchy với bunhiacopski thôi. ^^!



#5 trannguyen1998

trannguyen1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-06-2013 - 20:55

mình k hiểu ở bước đầu nơi. bdt cô si là a+b>=2cănab mà?



#6 tthnew

tthnew

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2019 - 08:06

Cho em hỏi:
"Các số nguyên dương đôi một khác nhau"  có nghĩa là sao ạ? Em mới học BĐT nên chưa rành mấy cái, sợ làm xong lại không thỏa mãn dấu "=" thì phiền :( 



#7 dongvmf10

dongvmf10

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2019 - 08:19

Cho em hỏi:
"Các số nguyên dương đôi một khác nhau"  có nghĩa là sao ạ? Em mới học BĐT nên chưa rành mấy cái, sợ làm xong lại không thỏa mãn dấu "=" thì phiền :(

Đó là $a\neq b\neq c\neq d$ đó bạn



#8 tthnew

tthnew

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2019 - 10:39

Đó là $a\neq b\neq c\neq d$ đó bạn


Nhưng nếu như vậy thì bài trên sai á?

#9 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 19-06-2019 - 15:29

cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau có $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2$ cm abcd là SCP

Ta có 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{a+d}=1-\frac{a}{a+b}+1-\frac{c}{c+d} \Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{a+d}=\frac{b}{a+b}+\frac{d}{c+d}\Leftrightarrow b(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b})+d(\frac{1}{a+d}-\frac{1}{c+d})=0\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(b+c)(a+b)}+\frac{d(c-a)}{(d+a)(c+d)}=0\Leftrightarrow (a-c)(\frac{b}{(b+c)(a+b)}-\frac{d}{(d+a)(c+d)})=0\Leftrightarrow (a-c)(\frac{b(d+a)(c+d)-d(b+c)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)})=0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-d)(ac-bd)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0$

Do a,b,c,d khác nhau từng đôi một nên $a-c\neq 0,b-d\neq 0$

$\Rightarrow ac-bd=0 \Leftrightarrow ad=bc$

$\Rightarrow abcd=(ac)^2$ là số chính phương



#10 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 19-06-2019 - 15:31

Bài trên không dùng BĐT Nesbit được vì a,b,c,d khác nhau từng đôi một và không phải là dạng của BĐT Nesbit nên chỉ có thể dùng biến đổi tương đương thôi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh