cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau có $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2$ cm abcd là SCP
Ta có
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}=2\Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{a+d}=1-\frac{a}{a+b}+1-\frac{c}{c+d} \Leftrightarrow \frac{b}{b+c}+\frac{d}{a+d}=\frac{b}{a+b}+\frac{d}{c+d}\Leftrightarrow b(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b})+d(\frac{1}{a+d}-\frac{1}{c+d})=0\Leftrightarrow \frac{b(a-c)}{(b+c)(a+b)}+\frac{d(c-a)}{(d+a)(c+d)}=0\Leftrightarrow (a-c)(\frac{b}{(b+c)(a+b)}-\frac{d}{(d+a)(c+d)})=0\Leftrightarrow (a-c)(\frac{b(d+a)(c+d)-d(b+c)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)})=0\Leftrightarrow \frac{(a-c)(b-d)(ac-bd)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0$
Do a,b,c,d khác nhau từng đôi một nên $a-c\neq 0,b-d\neq 0$
$\Rightarrow ac-bd=0 \Leftrightarrow ad=bc$
$\Rightarrow abcd=(ac)^2$ là số chính phương