Chứng minh với x,y,z không âm ta có : $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3$
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3$
#1
Đã gửi 05-06-2013 - 10:03
#2
Đã gửi 05-06-2013 - 10:19
Chứng minh với x,y,z không âm ta có : $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3$
Áp dụng $Holder$ thì ta có:
$(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)(a^3+b^3+c^3) \ge (a+b+c)^3$
$\to \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3} \ge \dfrac{(a+b+c)^3}{27}$
$\to Q.E.D$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 05-06-2013 - 10:19
- PBC A yêu thích
#3
Đã gửi 05-06-2013 - 10:28
Có thể c/m bđt Holder với 3 cặp số k
#5
Đã gửi 05-06-2013 - 10:42
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $a^{3}+2(\frac{a+b+c}{3})^{3}\geq 3a\frac{a+b+c}{3}=a(a+b+c)$. Tương tự cho các biểu thức còn lại. Cộng lại ta có đpcm.
Tái bút: Trên đây chỉ là một trường hợp nhỏ lẻ của bất đẳng thức sau: $\forall a_{i}\in \mathbb{R}^{+};(i=\overline{1,n})$ và n là một số nguyên dương ta luôn có bất đẳng thức:
$\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{n}}{n}\geq (\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n})^{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 05-06-2013 - 10:47
- PBC A yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh