Chủ đề này có 101 trả lời

[Zaraki]

Câu I:

Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.

b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.

Câu II:

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2)\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$

Câu III:

Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.

a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.

b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.

Câu IV:

Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.

b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.

Câu V:

Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.

c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.

Câu IV:

Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

 

Nguồn: MathScope

[Zaraki]

Câu IV:

Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.

b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.

Lời giải. a) Câu này tương đương với chứng minh $M$ lẻ, không khó lắm.

b) Xét trường hợp $a=5k+r$ với $k,r \in \mathbb{N}, \; 0 \le r \le 4$ để tìm $a$ thỏa mãn $5|M$.

Ở ý còn lại thì ta đặt $M= 5^m$ với $m \in \mathbb{N}$. Khi đó $$4M= (2a+3)^2-5=4 \cdot 5^m \Rightarrow (2a+3)^2 = 5 \cdot \left( 4 \cdot 5^{m-1}+1 \right)$$

Ta thấy $5|(2a+3)^2 \Rightarrow 25|(2a+3)^2$. Do đó $5| 4 \cdot 5^{m-1}+1$. Ta suy ra $m=1$.

Khi đó ta có $a=1$.

[etucgnaohtn]

PTNK ở đâu vậy Jinbe ?

@Jinbe: PTNK ở TPHCM đó bạn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 05-06-2013 - 13:12

[ongngua97]

 

Câu II:

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2)\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$

 

Cộng vế theo vế các pt trong hệ được: $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3=2z(x+1)+2x(y+1)+2y(z+1)$

 

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Thử lại, thoả.

 

Vậy pt có nghiệm x=y=z=1.

[Raiser1998]

 Mình mới thi sáng nay xong.Đề NK có vẻ dễ hơn năm ngoái.Nhưng mà trình bày bài 3,4 dài dòng quá(lại không chặt chẽ lắm) nên còn bài 6b,với bài hình b,c(nghe nói đề hình dễ T T).

Bài 6a mình làm vầy:

Giả sử không có bài toán nào mà mọi thí sinh đều làm được và gọi bài toán mà mọi thí sinh đều "bí" là bài A.Khi đó,ta xét 2 TH:

TH1:Không có học sinh nào làm được 2 bài:

Nếu có 2 học sinh nào đó làm được bài B thì các học sinh còn lại cũng đều làm được bài B do cứ hai Hs bất kì luôn có ít nhất 1 bài mà 2 hs đó làm được=>điều gs sai

TH2:Tồn tại N học sinh làm được 2 bài.Dễ thấy N<60 do điều gs

Khi đó xét các hs làm được 1 bài còn lại.CMTT th1=>các hs này đều làm được 1 bài toán=>Kết hợp với các hs làm được 2 bài=>điều gs sai

Vậy:Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được. (Hơi lôi thôi)

 

Bài 1 hình như hơi dễ(không biết có gài ở đâu không).

1/b $\mathbf{m}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Raiser1998: 05-06-2013 - 15:08

[Juliel]

Câu III:

Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.

a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.

b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.

 

Đề nắm nay hình như dễ hơn 2 nắm trước 

a) Giả sử $x>1\Rightarrow x^{3}>x\Rightarrow x-x^{3}<0\Rightarrow y^{3}+y<0$ (vô li vì $y\geq 0$)

   $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x\geq y$

Ta co đpcm

b) $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}+xy\leq 1\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 1$

Theo cmt thì $y\leq x\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$

Ta co đpcm

[hoaadc08]

Câu 1 :
$a) \bigtriangleup = (3m-1)(m+1))>0\Leftrightarrow m<-1\vee m>\frac{1}{3}$
$x_{1}x_{2}=(m-1)^{2}\geq 0 \forall m$


Câu 1b :
$\left |\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right |=1\Leftrightarrow S-2\sqrt{P}=1\Leftrightarrow 4m-2\left | m-1 \right |=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$


Giải bài hình . Các bạn ơi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 05-06-2013 - 17:45

[BlackSelena]

Bài hình câu a,b với 1/2 câu c khá dễ. Ý cực trị hình học còn lại thì có thể đại số trâu bò ra, k0 biết còn cách khác ko :-?

[etucgnaohtn]

Đề nắm nay hình như dễ hơn 2 nắm trước 

a) Giả sử $x>1\Rightarrow x^{3}>x\Rightarrow x-x^{3}<0\Rightarrow y^{3}+y<0$ (vô li vì $y\geq 0$)

   $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x\geq y$

Ta co đpcm

b) $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}+xy\leq 1\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 1$

Theo cmt thì $y\leq x\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$

Ta co đpcm

Lời giải rất hay

Câu a OK 

Nhưng chỗ bôi đỏ thì tớ nghĩ phải có $x-y\neq 0$ . Chặt hơn là $x-y>0$

b) Nếu $x-y=0$ thì $x^3+y^3\leq x-y=0$ . Mà $x,y$ không âm nên $x=y=0$ 

Ta có $x^3+y^3=0\leqslant 0=x^2+y^2=0\leq 1$

Chú ý : nói $0\leq 1$ tức là 0 có thể nhỏ hơn 1 HOẶC có thể bằng 1 . ở đây là nhỏ hơn 1

Nếu $x-y>0$ làm tiếp như trên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 05-06-2013 - 17:44

[LNH]

Chém bài 6 cái đã:

Nhận xét: không có thí sinh nào làm được 0 bài

a) Ta có mọi thí sinh đều làm nhiều nhất 2 bài. Xét 2 TH:

TH1: Tất cả thí sinh đều làm được 2 bài. Suy ra đpcm

TH2: Tồn tại thí sinh $a_1$ làm được 1 bài:

Xét $a_1$ với $a_i$ bất kì (i khác 1) thì 2 thí sinh sẽ làm chung 1 bài nên suy ra đpcm

Vấn đề được giải quyết xong 

b) Giả sử không tồn tại bài nào có ít nhất 40 thí sinh làm ra.

Xét 2 trường hợp:

TH1: Tồn tại 1 thí sinh giải 1 bài. Ta chứng minh giống câu a nên loại TH này

TH2: Các thí sinh đều làm được 2 bài trở lên

Gọi tập hợp các thí sinh làm được bài $i$ là $B_i$

Không mất tính tổng quát, giả sử $B_{1}=max$

Ta có $s(B_1)<40$

Suy ra số thí sinh không làm được bài 1 lớn hơn 20

Mà mỗi thí sinh đều làm ít nhất 2 bài

Suy ra các thí sinh này đều làm được bài 2 và 3

Gọi số thí sinh này là $x$

Ta có: $x>20>s(B_1)/2$

Xét tập $B_1$:

Các thí sinh làm được câu 1 phải làm được ít nhất câu 2 hay câu 3

Giả sử số thí sinh làm được câu 2 nhiều hơn số thí sinh làm câu 3

Ta có số thí sinh này là $y>=s(B_1)/2$

Suy ra $s(B_2)=x+y>s(B_1)$ (vô lý vì $B_1$ là max)

Suy ra giả thiết phản chứng sai

Suy ra đpcm 

------------------------------------------------------------------------------------------

Tình hình các bạn như thế nào? , còn mình làm...hết

[lenin1999]

Năm sau em mới thi, cho em xin phép giải trước câu I, IIIa ạ ! Các câu II, IIIb, IV có người giải rồi, câu V, VI xin chịu thua ! Các anh chị xem em giải rồi nhận xét dùm ạ !
Câu I :
a) $\Delta = (2m)^{2}-\left ( m^{2}-2m+1 \right )= 4m^{2}-m^{2}+2m-1=3m^{2}+2m-1$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $$\Delta > 0\Leftrightarrow 3m^{2}+2m+1> 0\Leftrightarrow m< -1 \vee m > \frac{1}{3}$$(*).

Theo Viète, ta có :

$x_{1}+x_{2}=4m ; x_{1}x_{2}=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}\geq 0$

Vậy $x_{1},x_{2}$ không thể trái dấu nhau.

b) $\left | \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right |=1$ $\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right )^{2}=1\Leftrightarrow x_{1}-2\sqrt{x_{1}x_{2}}+x_{2}=1\Leftrightarrow 4m-2\sqrt{(m-1)^{2}}=1$

Trường hợp 1 :

$4m-2(m-1)=1\Leftrightarrow 2m=-1\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$ ( không thỏa mãn điều kiện (*) )

Trường hợp 2 :

$4m-2(1-m)=1\Leftrightarrow 6m=3\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ ( thỏa điều kiện (*) )

Vậy $m=\frac{1}{2}$ để thỏa mãn đề bài.

 

Câu II : giống như trên

 

Cộng vế theo vế các pt trong hệ được: $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3=2z(x+1)+2x(y+1)+2y(z+1)$

 

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Thử lại, thoả.

 

Vậy pt có nghiệm x=y=z=1.

 

Câu III : Không có chắc đúng không, hơi dài dòng :

a) Giả sử $x> 1\Leftrightarrow x^{3}> x\Leftrightarrow x-x^{3}< 0\Leftrightarrow y^{3}+y< 0$ (1)

do  $x^{3}+y^{3}\leq x-y\Leftrightarrow y^{3}+y\leq x-x^{3}$

(1) vô lí vì $y\geq 0$ ( giả thiết )

Giả sử $x\leq 1\Leftrightarrow x^{3}\leq x\Leftrightarrow x-x^{3}\geq 0\Leftrightarrow y^{3}+y\geqslant 0$

Điều này hiển nhiên đúng. Vậy $x\leq 1$ (2)

Mặt khác $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Leftrightarrow x\geq y$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenin1999: 06-06-2013 - 12:12

[Tothuylinh]

Mọi người có đề mặt bằng ko, post lên cho mình tham khảo với

Thứ bảy :8/6 mới thi  bạn ạ!

[BlackSelena]

Câu 1:

$ \cdot 1$ Giải phương trình

$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3$$

$ \cdot 2$ Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy} \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2:

$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.

$\cdot 2$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$ ?

 

Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. CMR:
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$

$2)  EF \perp AC$

 

Câu 4:

Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 09-06-2013 - 17:53

[andymurray44]

Bài 2 b,mấy ông ra bao nhiêu,tui ra 891 số,đúng hay sai


Tui giải thế này.Dễ thấy $\overline{abc}-10d-e\leq 909$ và chia hết cho 101 nên có 9 TH.
Xét 1 TH làm VD:
$\overline{abc}-10d-e=101$
Ta thấy mỗi giá trị của d và e đều tìm được 1 số $\overline{abcde}$ tương ứng$\Rightarrow$ TH này sẽ có 100 số thoả mãn(100 số này đều khác nhau).Tương tự 8 TH còn lại,TH cuối thì loại bỏ 9 nghiệm d=9,e=1;d=9,e=2,...d=9,e=99 nên số các số thoả mãn ở TH cuối chỉ là 91 số.Nên tổng các số thoả mãn là 891.

[Ha Manh Huu]

bài 2 b

 ta có $\overline{abc}-10d-e \epsilon \left \{ 101,202,...909 \right.\left. \right \}$

vói mỗi cách chọn d ta có 9 cách chọn $\overline{abc}$ (ví du d=1 thì $111\leq \overline{abc}\leq 119$) tương ứng có 9 cách chọn $e$

do đó có tất cả 10.9 =90 cách chọn

@@~  mình đi thi viết thiếu trường hợp = 0 rồi

[sinh34]

Bài 2 b,mấy ông ra bao nhiêu,tui ra 891 số,đúng hay sai

 

.tính từ 10100 đến 99990 là 891

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh34: 08-06-2013 - 17:14

[andymurray44]

bài 2 b

 ta có $\overline{abc}-10d-e \epsilon \left \{ 101,202,...909 \right.\left. \right \}$

vói mỗi cách chọn d ta có 9 cách chọn $\overline{abc}$ (ví du d=1 thì $111\leq \overline{abc}\leq 119$) tương ứng có 9 cách chọn $e$

do đó có tất cả 10.9 =90 cách chọn

@@~  mình đi thi viết thiếu trường hợp = 0 rồi

Tui nghĩ là xét theo d,e dễ hơn vì chỉ cần d,e nhận bất kì giá trị nào cũng thoả mãn,trừ mấy cái ở trên ra.

[Ha Manh Huu]

abcde chia hết cho 101.tính từ 10100 đến 99990 là 891

nó có bảo tìm abcde chia hết cho 101 đâu

[andymurray44]

nhưng vói mỗi d thì chỉ có 9 abc và e tương t=ứng thôi

10 TH mà bạn,đó là với mỗi d,còn 10 TH d nữa ko phải 100 à

thế còn bài 1b mọi ng ra bao nhiêu? cách làm ntn?

Đặt $x+\frac{1}{y}=a,y+\frac{1}{x}=b\Rightarrow xy+\frac{1}{xy}=ab-2$,còn cả bài này nữa chứ,đang làm thì hết giờ,hôm nay vl thật

[Ha Manh Huu]

10 TH mà bạn,đó là với mỗi d,còn 10 TH d nữa ko phải 100 à

uk thì mỗi d có 9 cách chọn suy ra 10 d có 90 cách

ví dụ d=1 thì 111<=abc<=119 trừ đi xong tính ra e như vậy với mỗi d chỉ có 9 bộ abcde thỏi mãn