Chủ đề này có 1 trả lời

[nhjm nhung]

Cho tam giác $ABC$, điểm $O$ nằm trong tam giác. $BO,CO$ theo thứ tự cắt $AC,AB$ tại $M,N$. Dựng các hình bình hành $OMEN,OBFC$. Chứng minh rằng $A,E,F$ thẳng hàng và $\frac{AE}{AF}=\frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{OM.ON}{OB.OC}$

[pidollittle]

Kéo dài BF, CF cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong t/gi NKC có : $\frac{KC}{BO}=\frac{NC}{NO}\Rightarrow \frac{KF}{BO}+1=\frac{OC}{NO}+1\Rightarrow \frac{KF}{BO}=\frac{OC}{NO}\Rightarrow KF.NO=BO.OC$

Tương tự ta có trong t/gi MBH: HF.MO=BO.OC

=> KF .NO=HF .MO => $\frac{KF}{FH}=\frac{MO}{NO}=\frac{NE}{EM}$ mà NE //KF và EM //FH nên theo đlí Talet A, E ,F thẳng hàng.

(giả sử nó ko thẳng hàng rồi suy ra)

Vì $\Delta AMB\sim ACK\Rightarrow AM.AK=AB.AC\Rightarrow \frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{AM.AN}{AM.AK}=\frac{AN}{AK}=\frac{AE}{AF}$

Kéo dài AO. BF, Cf cắt AO lần lượt tại D,I.

Có $\widehat{IOC}=\widehat{AON}=\widehat{BDA}$ và $\widehat{BOD}=\widehat{AOM}=\widehat{AIC}$

$\Rightarrow \Delta BOD\sim \Delta CIO\Rightarrow CI.BD=OB.OC$

Có $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{AN}=\frac{CI}{AC}.\frac{BD}{AB}=\frac{OB.OC}{AC.AB}$ => đpcm