Câu 3 : (1 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ là tổng $n$ số nguyên tố đầu tiên . CHứng minh rằng tr0ng dãy số $S_1,S_2,...$ không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp.
Thôi để mình chém bài 3 vậy, biết thế k làm bài 3 nữa làm bài hình có phải hơn ko, đời như...
Giải như sau:
Bổ đề: Gọi $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$ ta cm $p_{i+1}>4(i-3)$ với mọi $i\geq 5$
Chứng minh:
Giả sử phản chứng $p_{i+1}\le 4(i-3)$
Ta thấy $2,3,...,p_{i+1}$ là $i+1$ số nguyên tố, nếu không kể $2,3$ thì ta có $i-1$ số nguyên tố khác $2,3$ mà nhỏ hơn $4(i-3)$ nên $i-1$ số nguyên tố ấy lẻ và ko chia hết cho $3$ mà từ $1->4(i-3)$ có $2(i-3)$ số chẵn và $\left\lfloor\dfrac{4(i-3)}{3}\right\rfloor$ nên $i-1$ thuộc tập $4(i-3)-2(i-3)-\left\lfloor\dfrac{4(i-3)}{3}\right\rfloor$ số còn lại
Dễ dàng cm $i-1>4(i-3)-2(i-3)-\left\lfloor\dfrac{4(i-3)}{3}\right\rfloor$ với $i\geq 5$ do đó nên theo dirichlet tồn tại hai số nguyên tố = nhau, vô lí, bổ đề hoàn thành
$$**********$$
Áp dụng: Ta sẽ cm bài toán đúng cho $S_i$ với $i\geq 7$
Thật vậy nếu $i\geq 7$ và tồn tại $S_i,S_{i+1}$ chính phương
Nên $S_i=x^2,S_{i+1}=y^2$ do đó $p_{i+1}=(y-x)(y+x)$ nên $y-x=1,y+x=p_{i+1}$
Do đó $x=\dfrac{p_{i+1}-1}{2}$
Như vậy $2+3+...+p_i=x^2=\left(\dfrac{p_{i+1}-1}{2}\right)^2$
Mà $2+3+...+p_i=17+11+13+....+p_i\le p_i+p_i(i-4)=p_i(i-$ (do $p_i\geq 11,13,...,p_{i-1}$ và $p_i\geq 17$ với $i\geq 7$
Do đó $2+3+...+p_i\le p_i(i-3)$
Nên $p_i(i-3)\geq \left(\dfrac{p_{i+1}-1}{2}\right)^2$ hay $4(i-3)p_i\geq (p_{i+1}-1)^2$
Mà $p_i<p_{i+1}-1$ nên $4(i-3)>p_{i+1}-1 \Rightarrow 4(i-3)\geq p_{i+1}$ trái bổ đề đpcm
Như vậy h ta chỉ còn cm cho $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6$ nhưng đây là điều đơn giản
Bài toán giải xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-06-2013 - 12:26