Chủ đề này có 1 trả lời

[ocean99]

chứng minh rằng tổng sau là số vô tỷ:

$$\sqrt[2008]{5\sqrt{2}+7}+ \sqrt[2008]{5\sqrt{2}-7}$$

 

[PT42]

Bổ đề : Nếu $a+b \epsilon \mathbb{Q}$ và $ab \epsilon \mathbb{Q}$ thì $a^{n}+b^{n}\epsilon \mathbb{Q}$ (1) $\forall n\epsilon \mathbb{N}$

Chứng minh : n= 0, 1 đúng.

Giả sử (1) đúng với mọi n < k  $\Rightarrow$ $a^{k-1}+ b^{k-1} \epsilon \mathbb{Q}$

$\Rightarrow (a+b)(a^{k-1}+ b^{k-1})= (a^{k}+b^{k})- ab(a^{k-2}+ b^{k-2}) \epsilon \mathbb{Q}$

mà $ab\epsilon \mathbb{Q}$ và $a^{k-2}+ b^{k-2}\epsilon \mathbb{Q}$

$\Rightarrow a^{k}+b^{k}\epsilon \mathbb{Q}$ hay (1) đúng với n= k $\Rightarrow$ đpcm

 

Phản chứng : Giả sử $\sqrt[2008]{5\sqrt{2}+7} + \sqrt[2008]{5\sqrt{2}-7}\epsilon \mathbb{Q}$

mà $\sqrt[2008]{5\sqrt{2}+7} . \sqrt[2008]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt[2008]{1} = 1\epsilon \mathbb{Q}$

nên theo bổ đề trên cho $a= \sqrt[2008]{5\sqrt{2}+7} ,  b= \sqrt[2008]{5\sqrt{2}-7}$ , n = 2008 ta có $5\sqrt{2}+7 + 5\sqrt{2}- 7 = 10\sqrt{2} \epsilon \mathbb{Q}$ $\Rightarrow \sqrt{2}\epsilon \mathbb{Q}$ vô lý