Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Toán vòng 2 trường THPT Chuyên KHTN năm 2013 - 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21
bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

BAi hinh cau b chi can chung minh AQ la pham giac goc giac goc MAN

=> A,P,Q thang hang va tu PQ di qua trung diem cua È va BC, tugiac PFGE la hinh binh hanh , EF song voi BC 

=>PQ di qua trung diem cua BC , EF (dpcm)



#22
humugosour

humugosour

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

câu 1 a bạn có cm cái trong ngoặc to vô nghiệm ko

trong ngoặc to ấy ta phân tích được (x-y)²+(x-2)²+(y-2)²=0

$$(x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0$$
$$x^{2}+2(\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{2}}-y)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+(y-\sqrt{|x|})^{2}=3$$
$$\left | y-\left | x \right | \right |-\sqrt{4-x^{2}}=0$$


#23
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

 

Câu I:
$\cdot 1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
 
$\cdot 2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2}  = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}$$
 
Câu II:
$\cdot 1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412 $$
 
$\cdot 2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị cực tiểu của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2} $$
 
Câu III:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ ($P \neq B, C, H$) và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M \neq B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N \neq C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q \neq A$.
$\cdot 1)$ Chứng minh $\overline{M,N,Q}$
$\cdot 2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\angle MAN$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$
 
Câu IV:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$ 

Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}$$

 

 

Mình có đi giải đề vòng 2 KHTN nhưng thất thu quá =))

Post lời giải tham khảo nhé các bạn !

Câu I:

1) Cộng vế vs vế của 2 PT ta được :

$x^3+y^3+6xy=8 \Leftrightarrow (x+y-2)(\frac{3(x-y)^2)}{4}+ \frac{(x+y)^2}{4}+2(x+y)+4)=0$

 

Tới đây ta xét 2 TH :

+) $x+y=2 $ Các bạn chắc tự giải được :D

+) $\frac{3(x-y)^2)}{4}+ \frac{(x+y)^2}{4}+2(x+y)+4=0$

Ta thấy :

$\left\{\begin{matrix}
 (x-y)^2 \ge 0 \\
 \frac{(x+y)^2}{4}+4 \ge 2|x+y| \ge 2(x+y)
\end{matrix}\right.$

 Dấu "=" xảy ra khi :

$\left\{\begin{matrix}
 x-y=0 \\
  (x+y)^2=4^2\\
 x+y <0
\end{matrix}\right.$

 Hay $x=y=-2$ không thoả mãn HPT

 

2)Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{1-x}=b$. Khi đó:

$ab+a^2+2=3a+b \Leftrightarrow (a-1)(a+b-2)=0$

Tới đây chắc ngon rồi!

 

Câu II:

1) $5x^2+8y^2=20412$

$\Rightarrow x^2+y^2 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow x \equiv y \equiv 0 (mod3)$

Đặt $x=3x_1; y=3y_1$ suy ra :

$5x_1^2+8y_1^2=2268$

Tương tự:

$\Rightarrow x_1 \equiv y_1 \equiv 0 (mod3)$

Đặt $x_1=3x_2;_1 y=3y_2$ suy ra :

$5x_2^2+8y_2^2=252$

Tương tự:

$\Rightarrow x_1 \equiv y_1 \equiv 0 (mod3)$

Đặt $x2=3x_3; y=3y_3$ suy ra :

$5x_3^2+8y_3^2=28$

Tới đây ngon rồi!

 

2)

$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2} $

$    = \sqrt{(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})^2(1+x^2y^2)}$

$    = \sqrt{\frac{15}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}+(x+y)^2}$

$    \ge \sqrt{15+2}= \sqrt{17}$

 

 

Câu III:

 

1)Dễ rồi

2) Ta có : $\widehat {AFQ}= \widehat{ANQ}=\widehat{ABM}=\widehat{ABM} \Rightarrow QF // PE$

Tương tự : $QE // PF$

Suy ra : $EQFP$  là hình bình hành $\Rightarrow PQ$  đi qua trung điểm $J$ của $EF$ (1)

Mà Ta có : $\widehat {NAQ}= \widehat{QFP}=\widehat{QEP}=\widehat{MAQ} \Rightarrow AQ$ là phân giác $\widehat{MAN} \Rightarrow A,Q,P$ thẳng hàng.(2)

Ta lại có:

$\frac{AF}{AB}=\frac{AQ}{AP}$ và $\frac{AE}{AC}=\frac{AQ}{AP}$ suy ra : $\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow EF // BC \Rightarrow AJ$ đi qua trung điểm $BC$

Từ (1) và (2) suy ra : $PQ \equiv AJ $ suy ra ĐPCM.

 

Câu IV :

 

Ta giải bài toán tổng quát hơn như sau:

Cho các số thực $x_1\leq x_2 \leq ...\leq x_n$ thỏa mãn $x_1+x_2+...+x_n=0$ và $|x_1|+|x_2|+...+|x_n|=1$, chứng minh :

$x_n-x_1\geq \frac{2}{n}$

 

Giả sử :

$x_1\leq x_2 \leq ...\leq x_k \leq 0 < x_{k+1} \leq ...\leq x_n$

Ta có:

$x_1+x_2+...+x_n=0 \Leftrightarrow \sum_{i\leq k}|x_i|=\sum_{j\geq k+1}|x_j|=\frac{|A|}{2}$

$\frac{n}{2}(x_{n}-x_{1})=\frac{n}{2}(|x_{n}|+|x_{1}|)=\frac{n}{2k}.k|x_1|+\frac{n}{2(n-k)}.(n-k)|x_n|$

$\ge \frac{n}{2k}(\sum_{i\leq k}|x_i|)+\frac{n}{2(n-k)}(\sum_{j\geq k+1}|x_j|)$

$=\frac{|A|}{4}(\frac{n}{2k}+\frac{n}{2(n-k)}) \ge \frac{|A|}{4}(n.\frac{4}{k+n-k})=|A|$

 

 

P\s: Năm đi nhìn thí sinh đi thi toán chuyên lác đác huy quạnh quá :(( .

Đề này không quá khó :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyThang khtn: 10-06-2013 - 09:49

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#24
MrJokerWTF

MrJokerWTF

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

.P\s: Năm đi nhìn thí sinh đi thi toán chuyên lác đác huy quạnh quá 

...

Đề này không quá khó 

Anh ơi cái câu b bài hình ý , anh có vẽ lại hình không mà biết được EF // BC,APQ thẳng hàng  vậy , không vẽ lại sao nhìn đc mà cm . vs cả câu IV , sao lại nghĩ ra dùng k vào trong dãy đó vậy , :( (chia sẻ em ít kinh nghiệm với )



#25
song vi toan

song vi toan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Anh ơi cái câu b bài hình ý , anh có vẽ lại hình không mà biết được EF // BC,APQ thẳng hàng  vậy , không vẽ lại sao nhìn đc mà cm . vs cả câu IV , sao lại nghĩ ra dùng k vào trong dãy đó vậy , :( (chia sẻ em ít kinh nghiệm với  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:

Câu 4:

Theo mình, việc nghĩ đến dùng k trong dãy đó xuất phát từ 2 cơ sở :

1, Vế 2 của hpt có dấu tuyệt đối...cộng với việc dễ dàng nhìn ra x1 <= 0 và x192 >= 0 nên xuất hiện hướng tạo 2 dãy âm dương để phát dấu tuyệt đối 

2, Bạn cũng có thể dự đoán được điểm 1 rơi đẹp của bđt này như x1=x2=....=x96= -2013/192 cà x97=...=x192 = 2013/192 ..từ đó cũng giúp định hướng đễn việc dùng k :) 



#26
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Bài cuối e còn 1 cách khác không rõ có đc k, tóm tắt như sau:

Ta chứng minh $A=\left | x_{192} \right |+\left | x_{1} \right ; A\geq \left | x_{191} \right |+\left | x_{2} \right |;.....A\geq \left | x_{96} \right |+\left | x_{95} \right |$


TLongHV


#27
Nguyen Thi Nhung

Nguyen Thi Nhung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Bạn NguyThang khtn ơi, tại sao khi AQ là phân giác của MAN lại suy ra được A, P, Q thẳng hàng, đề bài đâu có cho AP là phân giác của MAN đâu??????????????



#28
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bạn NguyThang khtn ơi, tại sao khi AQ là phân giác của MAN lại suy ra được A, P, Q thẳng hàng, đề bài đâu có cho AP là phân giác của MAN đâu??????????????

Bạn xem lại kĩ đầu bài nhá :icon6: .Nó cho AP là p/g rồi mới bắt chứng minh



#29
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

4 cặp nghiệm mà...

:lol:

Bạn chỉ chỗ sai cho mình nhé ! ;)


It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#30
etucgnaohtn

etucgnaohtn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Câu III:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ ($P \neq B, C, H$) và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M \neq B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N \neq C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q \neq A$.
$\cdot 1)$ Chứng minh $\overline{M,N,Q}$
$\cdot 2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\angle MAN$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$

$1)$ Ta có  $:$      $\widehat{AEQ}=\widehat{AMQ}$ ( AMEQ nội tiếp)

                                     $=\widehat{ACN} $

Suy ra : $\widehat{AEQ}=\widehat{ACN}$ 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $EQ//PF$

Cmtt ta có $FQ//PE$ . Do đó $FQEP$ là hình bình hành 

$\Rightarrow$ $\widehat{FPE}=\widehat{FQE} $

Mặt khác $\widehat{PNM}+\widehat{NMP}+\widehat{NPM}=180^{\circ}$ ( tổng 3 góc .(.). 1 tam giác ... )

 

Nhưng $ \widehat{PNM}=\widehat{EQM};\widehat{NMP}=\widehat{NQF} $ ( đồng vị ) và $\widehat{NPM}=\widehat{FQE}$

Nên $\widehat{EQM}+\widehat{NQF}+\widehat{FQE}=180^{\circ}$

$ \Leftrightarrow \widehat{NQM}=180^{\circ} $ 

Vậy $\overline{M,N,Q}(đ.p.c.m)$

$2)$ Vì $FQEP$ là hình bình hành nên : $ \widehat{QEP}=\widehat{QFP} $

                                         $ \Leftrightarrow \widehat{QAM}=\widehat{QAN} $ ( $ANFQ,AQEM$ nội tiếp )

                              Do đó $AQ$ là phân giác $ \widehat{MAN} $

                              Mà theo đề bài lại có $AP$ là phân giác $ \widehat{MAN} $ nên :

                              3 điểm $A,P,Q$ thẳng hàng !

Dễ thấy $ \widehat{BAC}+\widehat{BHC}=180^{\circ} $ 
Mà $ \widehat{BHC}=\widehat{BPC} $ nên $ \widehat{BAC}+\widehat{BPC}=180^{\circ} $

$ \Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{FPE}=180^{\circ} $

Do đó tứ giác  $AFPE$ nội tiếp 

Cho ta   $\widehat{FEP}=\widehat{FAP}$

                                     $=\widehat{FAQ}$

                                     $=\widehat{CNM}$

                                     $=\widehat{CBM}$

Suy ra $\widehat{FEP}=\widehat{CBM}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $FE//BC$ $(1)$

$FQEP$ là hình bình hành nên $QP$ đi qua trung điểm của $FE$ $(2)$

Và cuối cùng , từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $QP$ đi qua trung điểm $BC$   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 27-06-2013 - 08:39

Tác giả :

 

Lương Đức Nghĩa 

 

 


#31
humugosour

humugosour

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Anh ơi cái câu b bài hình ý , anh có vẽ lại hình không mà biết được EF // BC,APQ thẳng hàng  vậy , không vẽ lại sao nhìn đc mà cm . vs cả câu IV , sao lại nghĩ ra dùng k vào trong dãy đó vậy , :( (chia sẻ em ít kinh nghiệm với  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2:  :icon2: )

bạn ơi đừng quên đk AP là phân giác MAN nhé
cái này bạn dùng Geo để vẽ, sẽ thấy ngay thôi

$$(x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0$$
$$x^{2}+2(\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{2}}-y)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+(y-\sqrt{|x|})^{2}=3$$
$$\left | y-\left | x \right | \right |-\sqrt{4-x^{2}}=0$$


#32
MrJokerWTF

MrJokerWTF

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

bạn ơi đừng quên đk AP là phân giác MAN nhé
cái này bạn dùng Geo để vẽ, sẽ thấy ngay thôi

Geo là j ạ  :mellow:  :mellow:



#33
humugosour

humugosour

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Geo là j ạ  :mellow:  :mellow:

GeoGebra ấy

$$(x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0$$
$$x^{2}+2(\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{2}}-y)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+(y-\sqrt{|x|})^{2}=3$$
$$\left | y-\left | x \right | \right |-\sqrt{4-x^{2}}=0$$


#34
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

bai hinh cau b cm a p q thang hang la xong



#35
chetdi

chetdi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

năm nay KHTN lấy bao nhiêu lớp, bao nhiêu điểm vào lớp 1(chuyên toán)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh