Chủ đề này có 2 trả lời

[duyhoctot]

a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ

b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$

Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-06-2013 - 12:01

[trauvang97]

a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ

b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$

Thanks

 

a) Ta có: 

 

$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

 

Do đó: $\left (\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right )^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$

 

hay $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$ là số hữu tỉ

 

b) ĐK: $x\geq -1$

 

Phuơng trình đã cho tương đương với phương trình:

 

                           $3(x^{2}-x+1)+3(x+1)=10\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

 

Đặt $\sqrt{x^{2}-x+1}=u,\sqrt{x+1}=v$ thì ta có phương trình: $3u^{2}+3v^{2}-10uv=0$ $\Leftrightarrow (3u-v)(u-3v)=0$

 

Trường hợp: $3u=v$ thì $9(x^{2}-x+1)=x+1\Leftrightarrow 9x^{2}-10x+8=0$ phương trình này vô nghiệm

 

Trường hợp: $u=3v$ thì $x^{2}-x+1=9(x+1)\Leftrightarrow x^{2}-10x-8=0\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$

 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x=5\pm \sqrt{33}$

[phanquockhanh]

a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ

b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$

Thanks

a)$a-b =x;b-c=y;c-a=z (x,y,z\neq 0,x+y+z =0)$.Bài toán đã cho trở thành:

Cho $x,y,z\neq 0,x+y+z =0$

 

Chứng minh $\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}$ là số hữu tỉ.

Thật vậy,ta có:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

$= \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ) ^{2}- 2\left ( \frac{1}{xy} +\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right )$

$=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}-2\frac{x+y+z}{xyz}$

$=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}$

Khi đó:

$\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left | \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right |$

Từ đó dễ dàng suy ra ĐPCM

Bài 2:

ĐK: $x\geq -1$

(PT)$ \Leftrightarrow 3(x+1)+3(x^2-x+1)=10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{3(x+1)}{x^2-x+1}+3- 10\sqrt{\frac{3(x-1)}{x^2-x+1}}=0$

Đến đây em chỉ cần đặt ẩn phụ rồi giải phương trình bậc hai một ẩn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 09-06-2013 - 19:13