a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ
b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$
Thanks
Edited by dark templar, 11-06-2013 - 12:01.
a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ
b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$
Thanks
Edited by dark templar, 11-06-2013 - 12:01.
a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ
b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$
Thanks
a) Ta có:
$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$
Do đó: $\left (\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right )^{2}=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$
hay $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$ là số hữu tỉ
b) ĐK: $x\geq -1$
Phuơng trình đã cho tương đương với phương trình:
$3(x^{2}-x+1)+3(x+1)=10\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$
Đặt $\sqrt{x^{2}-x+1}=u,\sqrt{x+1}=v$ thì ta có phương trình: $3u^{2}+3v^{2}-10uv=0$ $\Leftrightarrow (3u-v)(u-3v)=0$
Trường hợp: $3u=v$ thì $9(x^{2}-x+1)=x+1\Leftrightarrow 9x^{2}-10x+8=0$ phương trình này vô nghiệm
Trường hợp: $u=3v$ thì $x^{2}-x+1=9(x+1)\Leftrightarrow x^{2}-10x-8=0\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x=5\pm \sqrt{33}$
a) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau. Chứng minh : $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}}$ là số hữu tỉ
b) Giải phương trình : $3(x^{2}+2)= 10\sqrt{x^3+1}$
Thanks
a)$a-b =x;b-c=y;c-a=z (x,y,z\neq 0,x+y+z =0)$.Bài toán đã cho trở thành:
Cho $x,y,z\neq 0,x+y+z =0$
Chứng minh $\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}$ là số hữu tỉ.
Thật vậy,ta có:
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$
$= \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ) ^{2}- 2\left ( \frac{1}{xy} +\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right )$
$=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}-2\frac{x+y+z}{xyz}$
$=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}$
Khi đó:
$\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left | \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right |$
Từ đó dễ dàng suy ra ĐPCM
Bài 2:
ĐK: $x\geq -1$
(PT)$ \Leftrightarrow 3(x+1)+3(x^2-x+1)=10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$
$\Leftrightarrow \frac{3(x+1)}{x^2-x+1}+3- 10\sqrt{\frac{3(x-1)}{x^2-x+1}}=0$
Đến đây em chỉ cần đặt ẩn phụ rồi giải phương trình bậc hai một ẩn
Edited by phanquockhanh, 09-06-2013 - 19:13.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users