Chủ đề này có 2 trả lời

[Nhat Minh 99]

Tìm cực trị của hàm số

$z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2$

ACE giúp mình giải bài này với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-06-2013 - 21:20

[maxolo]

Tìm cực trị của hàm số

$z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2$

Tôi nghĩ bạn đọc sách giáo trình sẽ đầy đủ và dễ hiểu hơn là hỏi trên đây. Vì lời giải ở đây cũng chỉ là một bài riêng biệt thôi. Chẳng hạn trong cuốn của Nguyễn Đình Trí:

 

http://thuvienvatly.com/download/17074

 

Về mặt lý thuyết, bài toán được giải dựa trên tính chất: nếu hàm đạt cực trị tại 1 điểm, thì các đạo hàm riêng triệt tiêu tại đó. Chẳng hạn nếu hàm đạt cực tiểu tại điểm P, thì tại đó, đồ thị của nó giống hình cái đáy cốc (giống như người ta hay nói "giá nhà đã chạm đáy" tức là không còn đi xuống nữa, tức là đạo hàm không âm, nhưng nó cũng chưa vội đi lên, tức là đạo hàm không dương, nên nó phải bằng không). Vậy nên ta bắt đầu bằng cách giải "điểm tới hạn" của hàm số:

$$z_x = 4x^3-2x -2y = 0$$

và

$$z_y = 4y^3 - 2y -2x = 0$$

Hàm số có tính đối xứng nên hai phương trình cũng đối xứng. Trừ hai phương trình cho nhau ta được

$$x^3 - y^3 = 0$$

Từ đó suy ra $x=y$. Thay ngược trở lại một trong hai phương trình trên, chẳng hạn phương trình (1)

$$4x^3-4x =0$$

giải ra được $x=0, x=1$ hoặc $x=-1$. Ta được 3 điểm tới hạn

$$(0,0), (1,1), (-1,-1)$$

Để biết được "dáng điệu" của hàm số ta tính đạo hàm cấp 2

$$z_{xx} = 12x^2-2, \quad z_{xy} = -2, \quad z_{yy} = 12y^2 -2$$

Từ đó ta tính được 

$$D = rt - s^2 = z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2 = (12x^2-2)(12y^2 - 2) - (-2)^2$$

Xét lần lượt các điểm tới hạn. Bắt đầu bằng $(0,0)$ thì $D = 0$. Trường hợp này chưa kết luận được ngay.

 

Xét hai điểm còn lại $x=y = \pm 1$, rõ ràng $D = (12-2)(12-2) - 4 = 96>0$, vậy hàm số đạt cực trị tại đây hai điểm này. Để xét hàm số đạt cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của $z_{xx}$ hoặc $z_{yy}$---chúng đều bằng $8$ và có dấu dương. Hàm đạt cực tiểu tại hai điểm trên.

 

Bạn có thể dùng wolframalpha để vẽ đồ thị. Xem ở đây:

 

http://www.wolframal...^2-y^2-2xy plot

 

Trong hình vẽ, có thể thấy hai điểm cực tiểu là hai điểm đáy của vùng trũng xung quanh hai điểm $(1,1)$ và $(-1,-1)$. 

 

Phần contour plot chỉ rõ điểm $(0,0)$ không phải là cực tiểu cũng không phải là cực đại. Nó là một điểm yên ngựa. Nếu đi theo hướng Tây Nam -- Đông Bắc qua điểm (0,0), hàm số có dạng đi lên và đạt đỉnh cao tại (0,0) rồi đi xuống. Thực vậy, đi theo Tây Nam -- Đông Bắc, tương ứng với $x=y =t$ và cho tham số $t$ tăng dần. Lúc này

$$z(t) = 2t^4-4t^2 = 2t^2(t^2-2)$$

Rõ ràng nó bằng $0$ tại $(0,0)$ và với $t$ gần $0$, $z<0$ nên $z(t)$ đạt cực đại theo hướng đó.

 

Tuy nhiên, nếu bạn đi theo hướng Tây Bắc -- Đông Nam, hay cho $x=-y =s$ và $s$ tăng, hàm số trở thành

$$z(s) = 2s^4$$

Rõ ràng $z(s)$ đạt cực tiểu tại $(0,0)$.

 

Như vậy, khi đi qua $(0,0)$ theo hai phương khác nhau, hàm số $z$ có thể đại cực đại theo 1 hướng, và cực tiểu theo hướng còn lại. Tức là $z$ có điểm yên ngựa tại $(0,0)$.

[tansangxtt]

Tôi xin trình bày một cách khác để chứng minh A(0, 0) là điểm yên ngựa, nghĩa là ta chứng minh nó không phải là cực đại cũng không phải là cực tiểu. Nhắc lại định nghĩa, cho hàm số $f$ xác định trên $U \subset \mathbb{R}^2$. Điểm $A(x_0, y_0)$ được gọi là điểm cực đại địa phương của $f$ nghĩa là tồn tại quả cầu $B(A, r)=\{M(x,y)\in \mathbb{R}^2 | AM = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} <r \}\subset U$ sao cho $\forall M \in B(A,r), f(M) \leqslant f(A)$. (Dấu ngược lại với cực tiểu địa phương)

 

Vậy ta sẽ chứng minh không có một quả cầu nào mà $f(A)$ lớn nhất trong lân cận đó, nghĩa là $\forall B(A,r) \subset U$, $\exists M\in B(A,r), f(M)>f(A)$ thì A không phải là điểm cực đại. Suy luận tương tự với cực tiểu.

• Xét dãy điểm $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ định bởi: $A_n(\frac{1}{n}, \frac{-1}{n} )$ thì $A_n \rightarrow A(0,0)$ khi $n\rightarrow \infty$ và $f(A_n)=\frac{1}{n^4}+ \frac{1}{n^4}- {(\frac{1}{n}-\frac{1}{n})}^2 = \frac{2}{n^4}>0 = f(A)$. Vậy $A$ không là điểm cực đại (1)
• Xét dãy điểm $(Q_n)_{n\in\mathbb{N}}$ định bởi: $Q_n(\frac{1}{n},0)$. Lúc đó $Q_n\rightarrow A(0,0)$ khi $n\rightarrow \infty$ và $f(Q_n)=\frac{1}{n^4} -\frac{1}{n^2} = \frac{n^2-n^4}{n^6}<0 = f(A)$. Vậy $A$ không là điểm cực tiểu (2)

Từ (1) và (2) ta kết luận $A$ là điểm yên ngựa (A là điểm dừng, điều này đã được xác định bên trên)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tansangxtt: 11-06-2013 - 19:34