Chủ đề này có 1 trả lời

[e331990]

1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

 

2.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geqslant\frac{1}{4}$

 

các bạn giúp mình với mình định làm bài này bằng phương pháp sừ dụng đạo hàm

1 mình đặt xy+yz+zx=t và định biến thành phương trình của t và dùng đạo hàm nhưng mình chưa biết biến đổi xyz theo t thế nào mong các bạn giúp đỡ

còn bài 2 mong các bạn chỉ giáo

[25 minutes]

1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

 

2.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh

 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geqslant\frac{1}{4}$

 

 

1, Dễ thấy $xy+yz+xz-3xyz \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz \geq 0$, do $xyz \in \left [ 0;1 \right ]$

Áp dụng bđt Schur ta có $xyz \geq \frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)-(x+y+z)^3}{9}=\frac{4(xy+yz+xz)-1}{9}$

     $\Rightarrow xy+yz+xz-3xyz \leq xy+yz+xz-\frac{4(xy+yz+xz)-1}{3}$

2, Áp dụng AM-GM ta có $x^3+x^3+\frac{1}{27} \geq x^2$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng vào tdduwwocj 

           $2(x^3+y^3+z^3)+\frac{1}{9} \geq x^2+y^2+z^2$

Đến đây áp dụng Schur rồi làm giống bài 1