Chủ đề này có 5 trả lời

[vo thi giang]

CMR: phương trình sau ko có nghiệm nguyên 
$x^{4}-1= \left ( 2y+1 \right )^{3}$

[duongtoi]

Giả sử PT có nghiệm nguyên.

Ta có $2y+1$ là số lẻ nên $(2y+1)^3$ cũng là số lẻ.

Suy ra $x$ là số chẵn.

Ta có $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$.

Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho $(x^2-1)$ và $(x^2+1)$.

Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho 2 (vì $x^2+1$ cách $x^2-1$ 2 đơn vị).

Điều này là vô lý vì $(2y+1)^3$ là số lẻ.

Vậy PT không tồn tại nghiệm nguyên.

[bachhammer]

Giả sử PT có nghiệm nguyên.

Ta có $2y+1$ là số lẻ nên $(2y+1)^3$ cũng là số lẻ.

Suy ra $x$ là số chẵn.

Ta có $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$.

Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho $(x^2-1)$ và $(x^2+1)$.

Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho 2 (vì $x^2+1$ cách $x^2-1$ 2 đơn vị).

Điều này là vô lý vì $(2y+1)^3$ là số lẻ.

Vậy PT không tồn tại nghiệm nguyên.

Không thể kết luận như vậy được vì hai số này chỉ cùng tính chẵn lẻ mà $(2y+1)^{3}$ lẻ nên hai số này phải lẻ. Ta thử nhé: chuyển -1 sang vế bên kia và biến đổi ta được $x^{4}=2(y+1)(4y^{2}+2y+1)$. Sau đó lặp luận tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 10-06-2013 - 13:52

[duongtoi]

Không thể kết luận như vậy được vì hai số này chỉ cùng tính chẵn lẻ mà $(2y+1)^{3}$ lẻ nên hai số này phải lẻ. Ta thử nhé: chuyển -1 sang vế bên kia và biến đổi ta được $x^{4}=2(y+1)(4y^{2}+2y+1)$. Sau đó lặp luận tiếp.

Ok. sorry mình làm sai ở bước đó. Bạn lập luận cụ thể cách của bạn đi.

[Oral1020]

Mình thấy cái này nó hơi sao sao ấy

Ta có:

$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$

Đặt $(x^2-1;x^2+1)=d$

$\Longrightarrow 2 \vdots d$

Do $x$ là số chẵn

$\Longrightarrow (x^2-1;x^2+1)=1$

$\Longrightarrow x^2-1=2y+1;x^2+1=(2y+1)^2$

$\Longrightarrow ...$

[nguyenthehoan]

CMR: phương trình sau ko có nghiệm nguyên 
$x^{4}-1= \left ( 2y+1 \right )^{3}$

Phương trình này có nghiệm nguyên.

 

Ta có:$(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(2y+1)^{3}$ Nên $x$ chẵn.Do đó $\gcd (x^{2}-1,x^{2}+1)=1$

 

Do đó $x^{2}-1=a^{3}$

 

và $x^{2}+1=b^{3}$,với $ab=2y+1$.

 

Suy ra $b^{3}-a^{3}=2\Leftrightarrow (b-a)(b^{2}+ab+a^{2})=2$.Đây là phương trình tích cơ bản.

 

Phương trình này có nghiệm $a=-1,b=1$ Nên phương trình đã cho có nghiệm $x=0,y=-1$.