CMR: phương trình sau ko có nghiệm nguyên
$x^{4}-1= \left ( 2y+1 \right )^{3}$
$x^{4}-1= \left ( 2y+1 \right )^{3}$
#1
Đã gửi 10-06-2013 - 11:03
#2
Đã gửi 10-06-2013 - 11:40
Giả sử PT có nghiệm nguyên.
Ta có $2y+1$ là số lẻ nên $(2y+1)^3$ cũng là số lẻ.
Suy ra $x$ là số chẵn.
Ta có $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$.
Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho $(x^2-1)$ và $(x^2+1)$.
Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho 2 (vì $x^2+1$ cách $x^2-1$ 2 đơn vị).
Điều này là vô lý vì $(2y+1)^3$ là số lẻ.
Vậy PT không tồn tại nghiệm nguyên.
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#3
Đã gửi 10-06-2013 - 13:51
Giả sử PT có nghiệm nguyên.
Ta có $2y+1$ là số lẻ nên $(2y+1)^3$ cũng là số lẻ.
Suy ra $x$ là số chẵn.
Ta có $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$.
Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho $(x^2-1)$ và $(x^2+1)$.
Suy ra $(2y+1)^3$ chia hết cho 2 (vì $x^2+1$ cách $x^2-1$ 2 đơn vị).
Điều này là vô lý vì $(2y+1)^3$ là số lẻ.
Vậy PT không tồn tại nghiệm nguyên.
Không thể kết luận như vậy được vì hai số này chỉ cùng tính chẵn lẻ mà $(2y+1)^{3}$ lẻ nên hai số này phải lẻ. Ta thử nhé: chuyển -1 sang vế bên kia và biến đổi ta được $x^{4}=2(y+1)(4y^{2}+2y+1)$. Sau đó lặp luận tiếp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 10-06-2013 - 13:52
#4
Đã gửi 10-06-2013 - 14:05
Không thể kết luận như vậy được vì hai số này chỉ cùng tính chẵn lẻ mà $(2y+1)^{3}$ lẻ nên hai số này phải lẻ. Ta thử nhé: chuyển -1 sang vế bên kia và biến đổi ta được $x^{4}=2(y+1)(4y^{2}+2y+1)$. Sau đó lặp luận tiếp.
Ok. sorry mình làm sai ở bước đó. Bạn lập luận cụ thể cách của bạn đi.
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#5
Đã gửi 10-06-2013 - 14:31
Mình thấy cái này nó hơi sao sao ấy
Ta có:
$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$
Đặt $(x^2-1;x^2+1)=d$
$\Longrightarrow 2 \vdots d$
Do $x$ là số chẵn
$\Longrightarrow (x^2-1;x^2+1)=1$
$\Longrightarrow x^2-1=2y+1;x^2+1=(2y+1)^2$
$\Longrightarrow ...$
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#6
Đã gửi 11-06-2013 - 08:58
CMR: phương trình sau ko có nghiệm nguyên
$x^{4}-1= \left ( 2y+1 \right )^{3}$
Phương trình này có nghiệm nguyên.
Ta có:$(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(2y+1)^{3}$ Nên $x$ chẵn.Do đó $\gcd (x^{2}-1,x^{2}+1)=1$
Do đó $x^{2}-1=a^{3}$
và $x^{2}+1=b^{3}$,với $ab=2y+1$.
Suy ra $b^{3}-a^{3}=2\Leftrightarrow (b-a)(b^{2}+ab+a^{2})=2$.Đây là phương trình tích cơ bản.
Phương trình này có nghiệm $a=-1,b=1$ Nên phương trình đã cho có nghiệm $x=0,y=-1$.
- trauvang97 và bachhammer thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh