Chủ đề này có 5 trả lời

[Ve Sau Lot Xac]

Câu 1: (2,5 điểm).

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O), (đường thẳng BC không đi qua tâm O). Từ B,C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn cắt nhau tại D, từ D kẻ cát tuyến d cắt đường tròn tại hai điểm E và F (d không đi qua tâm O và không  trùng với DB, DC; E nằm giữa D và F). Từ B kẻ đường thẳng song song với d cắt đường tròn tại điểm M ( M khác B) , MC cắt d tại I.

a)      Chứng minnh $\angle BMC = \angle DOC$.

b)      Chứng minh bốn điểm D, C, I ,O nằm trên một đường tròn và I là trung điểm của EF.

c)       Tìm quỹ tích điểm I khi d di động.

Câu 2: (1 điểm).

 Chứng minh rằng với mọi n$\epsilon$N thì $3^{2^{4n+1}}$ + 2 chia hết cho 11.

Câu 3: ( 1điểm )

 Cho x, y,  z là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Hãy so sánh x, y, z với 1 và chứng minh rằng  x² + y² + z² + 2xyz < 2.

Câu 4:  ( 1điểm )

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF ( D$\epsilon$BC, E$\epsilon$AC, F$\epsilon$AB ) và đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $\frac{1}{r}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ve Sau Lot Xac: 11-06-2013 - 09:42

[MoneyIsAll]

Bài 2.
Ta có: $2^{4n+1}$ $=$ $2.16^{n}$ $\equiv$ 2(mod 5) (Vì $16^{n}$ = 1(mod 5))
Hay ${2^{4n+1}} = 5k + 2 ( Với  k  thuộc  \mathbb{N} )$
Từ đó ta có $3^{2^{4n+1}} + 2 = 3^{5k+2} + 2 = 9.{{3^5}^k} + 2 \equiv 9 + 2 \equiv 0 (mod11) ( Vì  3^5 =243 \equiv 1 (mod11))$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoneyIsAll: 11-06-2013 - 11:39

[MoneyIsAll]

$Bài 3.$

$1$. So sánh x,y,z với 1.

Ta có: $ x < y  + z (BĐT tam giác)$

$\Rightarrow  2x < x + y +z$ Hay x < $frac{x+y+z}{2}$ = 1.

Tương tự y,z<1. 

$2$. Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz < 2$

Từ x,y,x<1 ta có $(1-x)(1-y)(1-z) > 0$

$\Leftrightarrow 1 - x - y - z + xy + yz + xz -xyz > 0$ Hay $xy + yz + zx -xyz > 1$

$\Leftrightarrow 2 < 2xy + 2yz + 2zx - 2xyz = {(x+y+z)^2} - ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xyz)$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xyz < 2 ( Vì  x + y + z = 2)  (dpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoneyIsAll: 11-06-2013 - 11:34

[duongtoi]

Câu 4:

Ta có $\frac{1}{AD}=\frac{BC}{2S}$.

Tương tự ta có $\frac{1}{BE}=\frac{AC}{2S};\frac{1}{CF}=\frac{AB}{2S}$.

Do vậy, $VP=\frac{BC+AC+AB}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}=VT$. (ĐPCM).

[phatthemkem]

Câu 1: (2,5 điểm).

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O), (đường thẳng BC không đi qua tâm O). Từ B,C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn cắt nhau tại D, từ D kẻ cát tuyến d cắt đường tròn tại hai điểm E và F (d không đi qua tâm O và không  trùng với DB, DC; E nằm giữa D và F). Từ B kẻ đường thẳng song song với d cắt đường tròn tại điểm M ( M khác B) , MC cắt d tại I.

a)      Chứng minnh $\angle BMC = \angle DOC$.

b)      Chứng minh bốn điểm D, C, I ,O nằm trên một đường tròn và I là trung điểm của EF.

c)       Tìm quỹ tích điểm I khi d di động.

[phatthemkem]

Câu 1: (2,5 điểm).

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O), (đường thẳng BC không đi qua tâm O). Từ B,C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn cắt nhau tại D, từ D kẻ cát tuyến d cắt đường tròn tại hai điểm E và F (d không đi qua tâm O và không  trùng với DB, DC; E nằm giữa D và F). Từ B kẻ đường thẳng song song với d cắt đường tròn tại điểm M ( M khác B) , MC cắt d tại I.

a)      Chứng minnh $\angle BMC = \angle DOC$.

b)      Chứng minh bốn điểm D, C, I ,O nằm trên một đường tròn và I là trung điểm của EF.

c)       Tìm quỹ tích điểm I khi d di động.

$a)$ Ta có $\left\{\begin{matrix} \widehat{BMC}=\frac{1}{2}sd\widehat{BC}\\ \\ \widehat{DOC}=sd\widehat{AC}=\frac{1}{2}sd\widehat{BC} \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{DOC}$

$b)$ Ta có $\widehat{DOC}=\widehat{BMC}=\widehat{MIF}=\widehat{DIC}$

$\Rightarrow$ tứ giác $DCOI$ nội tiếp

$\Rightarrow OI\perp EF\Rightarrow IE=IF$

$c)$ Vì $B,C$ cố định nên $\widehat{BOC}$ cố định $\Rightarrow \widehat{DOC}$ cố định $\Rightarrow \widehat{DIC}$ cố định

Vậy khi $d$ di động thì $I$ di động trên cung $BC$ không chứa $D$ của đường tròn ngoại tiếp ngũ giác $DCOIB$