Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi vào THPT chuyên ĐHV năm 2013-2014 vòng 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
Câu 1(1,5 điểm) : Giả sử $n$ là số nguyên tô lớn hơn $2$. Chứng minh $\frac{2013n^{2}+3}{8}$ là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm) : Rút gọn $A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.
Câu 3 (1,5 điểm) : Giải hệ phương trình : $\begin{cases} & \ x^{2}+6xy+y^{2}= 17\\ & \ 6y^{2}-xy+x-5y-1=0\end{cases}$
Câu 4 (1.5 điểm) : Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}$; $BC=a;CA=b;AB=c$
Chứng minh rằng : $(a+b+c)^{2}\leq9ab$
Câu 5 (4 điểm) : Cho $\bigtriangleup ABC$. $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$ sao cho $H$ khác $B$,$C$ và $h$ nằm trong đoạn $BC$. $AB$ cắt ($ACH$) tại $D$ khác $A$, $AC$ cắt ($ABH$) tại $E$ khác $A$.
a. $I$,$J$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Chứng minh $I$,$J$,$D$,$E$ đồng viên.
b. Chứng minh $HA$ là phân giác $\widehat{EHD}$
c. Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$, $AH$ để $DE$ tiếp xúc với hai đường tròn trên.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)



Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử $n$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. Chứng minh rằng $\frac{2013n^2+3}{8}$ là số nguyên dương.

Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức

$A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$


Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+6xy=17\\ 6y^2-xy+x-5y-1=0 \end{matrix}\right.$


Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $\widehat{A}\geq \widehat{B}\geq \widehat{C}$.
Chứng minh rằng $9ab\geq (a+b+c)^2$

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ làg chân đường cao kẻ từ $A$, biết rằng $H$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và không trùng với $B$ hoặc $C$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACH$ tại $D$ phân biệt với $A$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH$ tại $E$ phân biệt với $A$.
a) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của $\widehat{EHD}$.
c) Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$ và $AH$ để $DE$ tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.

--------------------------------- HẾT ---------------------------------


Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh: ..............................
Chữ kí của CBCT thứ nhất: Chữ kí của CBCT thứ hai:
........................................... ........................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 16:06

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#2
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Câu 1 : Giả sử $n$ là số nguyên tô lớn hơn $2$. Chứng minh $\frac{2013n^{2}+3}{5}$ là số nguyên dương.

Câu 2 : Rút gọn $A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.

Câu 3 : Giải hệ phương trình : $\begin{cases} & \ x^{2}+6xy+y^{2}= 17\\ & \ 6y^{2}-xy+x-5y-1=0\end{cases}$

Câu 4 : Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}$; $BC=a;CA=b;AB=c$

Chứng minh rằng : $(a+b+c)^{2}\leq9bc$

Câu 5 : Cho $\bigtriangleup ABC$. $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$ sao cho $H$ khác $B$,$C$ và $h$ nằm trong đoạn $BC$. $AB$ cắt ($ACH$) tại $D$ khác $A$, $AC$ cắt ($ABH$) tại $E$ khác $A$.

a. $I$,$J$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Chứng minh $I$,$J$,$D$,$E$ đồng viên.

b. Chứng minh $HA$ là phân giác $\widehat{EHD}$

c. Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$, $AH$ để $DE$ tiếp xúc với hai đường tròn trên.

Nếu n = 5 thì chết chắc? Có lộn đề ko dzậy bạn?


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Chém luôn câu bất đẳng thức cho nóng :D

Vì $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}\Rightarrow a\geq b\geq c$

Do đó : $(a+b+c)^{2}\leq(a+2b)^{2}$

Ta cần chứng minh : $(a+2b)^{2}\leq 9ab\Leftrightarrow (4b-a)(b-a)\leq 0$(*)

Do $b \leq a \Rightarrow b-a\leq 0$ và $a<b+c\leq2b<4b \Rightarrow 4b-a>0$nên (*) đúng.

Vậy : $(a+b+c)^2\leq 9ab$

@ALL : sorry anh em, em đã fix lại đề :luoi:

@Jinbe : anh chỉ có đề vòng $2$ xin thằng bạn thôi, đề vòng $1$ anh chịu nhưng nghe bọn nó nói không thể dễ hơn nữa :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 11-06-2013 - 17:24

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#4
ngocduy286

ngocduy286

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 152 Bài viết

Câu 1.

$ 2013n^2 +3 =2008n^2 + 5(n-1)(n+1) +8 \vdots 8 $

vì n lẻ

Câu 2: lập phương lên ta được:

 $ A^3 + 3A - 4=0 $

$ \Rightarrow A=1 $

Câu 3:

pt (2 ) tương đương với

 $ (y-1)(6y-2x+1)=0 $



#5
pcfamily

pcfamily

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Chém luôn câu bất đẳng thức cho nóng :D

Vì $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}\Rightarrow a\leq b\leq c$

 

Đề có nhầm lẫn gì chăng? $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}$ thì $a\geq b\geq c$  chứ  :closedeyes: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 11-06-2013 - 11:56


#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Anh namsub ơi, đề vòng 1 đâu anh ??


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
PBC A

PBC A

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Chém luôn câu bất đẳng thức cho nóng :D
Vì $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}\Rightarrow a\leq b\leq c$
Do đó : $(a+b+c)^{2}\leq(2b+c)^{2}$
Ta cần chứng minh : $(2b+c)^{2}\leq 9bc\Leftrightarrow (4b-c)(b-c)\leq 0$(*)
Do $b \leq c \Rightarrow b-c\leq 0$ và $c<a+b\leq2b<4b \Rightarrow 4b-c>0$nên (*) đúng.
Vậy : $(a+b+c)^2\leq 9bc$
@bachhammer : sorry anh, em đã fix lại đề :luoi:

Bước đầu sai thì phải


dềd sai thi phải Câu4 $9ab\geq (a+b+c)^2$

#8
SPhuThuyS

SPhuThuyS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết


Câu 1 : Giả sử $n$ là số nguyên tô lớn hơn $2$. Chứng minh $\frac{2013n^{2}+3}{8}$ là số nguyên dương.

Câu 2 : Rút gọn $A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.

Câu 3 : Giải hệ phương trình : $\begin{cases} & \ x^{2}+6xy+y^{2}= 17\\ & \ 6y^{2}-xy+x-5y-1=0\end{cases}$

Câu 4 : Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}\geq\widehat{B}\geq\widehat{C}$; $BC=a;CA=b;AB=c$

Chứng minh rằng : $(a+b+c)^{2}\leq9bc$

Câu 5 : Cho $\bigtriangleup ABC$. $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$ sao cho $H$ khác $B$,$C$ và $h$ nằm trong đoạn $BC$. $AB$ cắt ($ACH$) tại $D$ khác $A$, $AC$ cắt ($ABH$) tại $E$ khác $A$.

a. $I$,$J$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Chứng minh $I$,$J$,$D$,$E$ đồng viên.

b. Chứng minh $HA$ là phân giác $\widehat{EHD}$

c. Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$, $AH$ để $DE$ tiếp xúc với hai đường tròn trên.

File gửi kèm  New Bitmap Image.bmp   2.99MB   70 Số lần tải

Bài hình không khó lắm:

a)$\angle EIA=\angle EAI=\angle DAF=\angle ADF$

$\Rightarrow$ Tứ giác EIFD nội tiếp

b)$\angle EHA=\frac{1}{2}\angle EIA=\frac{1}{2}AFD=\angle AHD$$\rightarrow$Đpcm

c)$\Leftrightarrow DE$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

$\Leftrightarrow \angle DEA =\angle EDA(=2\angle EHA=2\angle AHD)$

$\Leftrightarrow \angle AIF=\angle AFI$ ( EDFI nội tiếp)

$\Leftrightarrow \angle ABC=\angle ACB$( IF Là đường trung bình của ABC)

$\Leftrightarrow \bigtriangleup ABC$ cân tại A


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 11-06-2013 - 13:20

 

 


#9
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

1(2đ) 

2(2,5đ)

3(1,5đ)

4(4đ)

bạn coi lại bài hình cái SPhuthuyS

Bạn là câu 3b V1 cái xem nào


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#10
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Câu 2 (1,5 điểm) : Rút gọn $A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.

Lời giải. Áp dụng tính chất: Nếu $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$. (dễ chứng minh).

Ta có $A- \sqrt[3]{2+ \sqrt 5} - \sqrt[3]{2- \sqrt 5}=0$ nên

$$\begin{array}{l} A^3 - \left( 2+ \sqrt 5 \right) - \left(2- \sqrt 5 \right) = 3A \sqrt[3]{ \left( 2+ \sqrt 5 \right) \left( 2- \sqrt 5 \right)} \\ \Leftrightarrow A^3+3A-4=0 \\ \Leftrightarrow (A-1)(A^2+A+4)=0 \end{array}$$

Vậy $\boxed{A=1}$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#11
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Câu 1(1,5 điểm) : Giả sử $n$ là số nguyên tô lớn hơn $2$. Chứng minh $\frac{2013n^{2}+3}{8}$ là số nguyên dương.

Lời giải. Vì $n$ là số nguyên tố lớn hơn $2$ nên $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$. Do đó $2013n^2+3 \equiv 0 \pmod{8}$. Ta có đpcm.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#12
datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết

Câu 3 : Giải hệ phương trình :  x2+6xy+y2=17 6y2xy+x5y1=0

pt(2) $6y^2-xy+x-5y-1=0$

=>$(y-1)(6y-x+1)=0 $

=> $y=1$ hoặc$ y=\frac{x-1}{6}$

Thay y vào phương trình (1) ta sẽ tìm được các nghiệm của hệ pt. :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

CÁC BẠN TỰ TÌM NGHIỆM NHÉ!!!!! :lol:  :lol:  :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 18-06-2013 - 16:15

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#13
Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết

Câu 2:

Ta có: $\large A^{3}=4+3\sqrt{\left ( 2-\sqrt{5} \right )\left ( 2+\sqrt{5} \right )}\ast A= 4-3A\Rightarrow A^{3}+3A-4=0\Rightarrow A=1$

Vậy A=1


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh