Chủ đề này có 4 trả lời

[katherinpham]

Bài 1) tìm Min, Max của :

                                $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$

 

Bài 2) cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 c/m:

    $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}> 14$

 

Bài 3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa a+b+c=2

    chứng minh:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc<2$

 

Bài 4) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1

    C/m:  $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$ 

 

Bài 5) Với mỗi số nguyên dương n đặt $P_{n}= n!$

   Chứng minh rằng : $\frac{1}{P_{2}}+\frac{2}{P_{3}}+\frac{3}{P_{4}}+...+\frac{n-1}{P_{n}}$ <1

 

Bài 6) cho x,y thỏa mãn: $8x^{2}+y^{2}+\frac{1}{4x^{2}}=4$

    xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 

 

Bài 7) chứng minh: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$ với $a\geq 1; b\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katherinpham: 11-06-2013 - 14:30

[MoneyIsAll]

$Bài  1$: Dùng Miền giá trị của hàm số....
$Bài  2$: Nhân tử và mẫu của $\frac{3}{xy+yz+zx}$ với 2. Rồi dùng Cauchy-Schwarz.

Đưa về dạng $VT \geq {(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} > 14$

$Bài  3$: Ở đây: 

http://diendantoanho...-d/#entry425999

$Bài  4$: Áp dụng BĐT: ${(a+b+c)^2} \leq 3({a^2} + {b^2} + {c^2})$

$Bài  5$: Đề....????

$Bài  6$: Nhân 2 vế của Phương trình đã cho với $x^2$. Rút $(xy)^2$ một vế, biến đổi vế còn lại về dạng $-{A^2} + f(x)$. rồi tìm Min xy

$Bài  7$: Dùng biến đổi tương đương, kết hợp với giả thiết $ab  \geq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoneyIsAll: 11-06-2013 - 12:23

[Supermath98]

Bài 1) tìm Min, Max của :

                                $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$

 

Bài 2) cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 c/m:

    $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}> 14$

 

Bài 3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa a+b+c=2

    chứng minh:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc<2$

 

Bài 4) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1

    C/m:  $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$ 

 

Bài 5) Với mỗi số nguyên dương n đặt $P_{n}= n!$

   Chứng minh rằng : $\frac{1}{P_{2}}+\frac{2}{P_{3}}+\frac{3}{P_{4}}+...+\frac{n-1}{P_{n}}$

 

Bài 6) cho x,y thỏa mãn: $8x^{2}+y^{2}+\frac{1}{4x^{2}}=4$

    xác định x,y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất 

 

Bài 7) chứng minh: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$ với $a\geq 1; b\geq 1$

Câu 7: ta xét hiệu rồi đưa về điều luôn đúng

Câu 4: 

Đặt $A=\sum \sqrt{a+b}$.

Ta có $A^{2}=\left ( \sum \sqrt{a+b} \right )^{2}\leq \left ( 1+1+1 \right )2\left ( a+b+c \right )= 6\Rightarrow A\leq \sqrt{6}$ vì A dương

 

Câu 2: Ta dễ dàng cm được là $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+xz \right )\Rightarrow \frac{1}{xy+yz+xz}\geq 3$ (Ví x+y+z=1)

Lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Áp dụng ta có $\frac{1}{2\left ( xy+yz+xz \right )}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{4}{\left ( x+y+z \right )^{2}}= 4$

Ta có: $VT=\frac{6}{2\left ( xy+yz+xz \right )}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}= 2\frac{1}{xy+yz+xz}+2\left ( \frac{1}{2\left ( xy+yz+xz \right )}+\frac{1}{z^{2}+y^{2}+x^{2}} \right )\geq 14$

Không có dấu = xảy ra nên ta có đpcm

[katherinpham]

cảm ơn các bạn đã giúp mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katherinpham: 11-06-2013 - 14:59

[phatthemkem]

Bài 1) tìm Min, Max của :

                                $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$

 

  

Đặt $y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$ ta có 

$y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+x}$

$\Leftrightarrow (y-1)x^2+(y-1)x-1=0$

$y$ nhận được cực trị khi pt $(y-1)x^2+(y-1)x-1=0$ có nghiệm

Xét $\Delta$ là xong.