$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}=2-x^{2}$
$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}=2-x^{2}$
#1
Đã gửi 11-06-2013 - 15:16
#2
Đã gửi 11-06-2013 - 15:26
ĐK: $x \epsilon [-1; 1]$
Đặt: $\sqrt{1-x}$ = $a$; $\sqrt{1+x}$ = $b$
Ta có HPT :
$\left\{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 2\\a+ b= (ab)^{2} + 1 \end{matrix}\right.$
Đặt: $a$+$b$= $u$; $a$$b$=$v$
Ta có hệ sau:
$\left\{\begin{matrix} u^{2} - 2v = 2\\u= v^{2} + 1 \end{matrix}\right.$
Thay u = $v^{2} + 1$ từ PT dưới lên PT trên, ta được:
($v^{3} + v^{2} + 3v + 1$)($v$- $1$) = $0$
Do $v$ không âm nên $v - 1$ = $0$
=> $v$ = $1$
=> $u$ = $2$
Áp dụng định lý Vi-et suy ra $a$ = $b$ = 1 => $x$ = $0$
Vậy $S$= {0}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Littlemonster: 11-06-2013 - 16:20
- ongngua97 yêu thích
Có thể mình không thích Toán nhưng mình thích làm Toán!
#3
Đã gửi 11-06-2013 - 15:50
Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$
$\sqrt{1-x}-1+\sqrt{x+1}-1=-x^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=-x^{2}$$
Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}=-x$
Tính đạo hàm cấp 2 của vế trái ra cho bằng 0 thì tìm được điểm uốn đi qua 0. Nên cái đó có nghiệm là 0 nữa.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi End: 11-06-2013 - 15:51
Nhấn nút thay lời cảm ơn !!
#4
Đã gửi 11-06-2013 - 15:52
ĐK: x $\epsilon$ [-1; 1]
Đặt: $\sqrt{1-x}$ = a; $\sqrt{1+x}$ = b
PT tương đương với:
a+b = ab+1
<=> (a-1)(b-1)=0
+ TH1: a-1=0 <=> a=1 <=> 1-x = 1 <=> x=0 ( TM x $\epsilon$ [-1; 1] )
+ TH2 :b-1=0 <=> b=1 <=> x+1= 1 <=> x=0 ( TM x $\epsilon$ [-1; 1] )
Vậy S= {0}
Phương trình mới của bạn sai rồi: phải là $a+b= (ab)^2+1$
- Littlemonster yêu thích
#5
Đã gửi 11-06-2013 - 18:09
$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}=2-x^{2}$
Có thể làm như sau:
ĐK $x \in \left [ -1;1 \right ]$
Bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương
$2+2\sqrt{1-x^2}=x^4-4x^2+4$
$\Leftrightarrow x^4-4x^2+2-2\sqrt{1-x^2}=0$
Đặt $t=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=1-t^2\\x^4=(1-t^2)^2 \\t \in \left [ 0;1 \right ] \end{matrix}\right.$
Ta suy ra phương trình $(1-t^2)^2-4(1-t^2)-2t+2=0$
$\Leftrightarrow t^4+2t^2-2t-1=0$
$\Leftrightarrow (t-1)(t^3+t^2+3t+1)=0\Leftrightarrow t=1$, do $t \geq 0$
Do đó $t=\sqrt{1-x^2}=1\Rightarrow x=0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$
- phanquockhanh yêu thích
#6
Đã gửi 11-06-2013 - 18:26
$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}=2-x^{2}$
$x^{2}-\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}+\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}=0 $
$\Leftrightarrow x^{2}-x\left ( \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{(1+\sqrt{1+x})(1+\sqrt{1-x})}\right )=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{2x^{2}}{\left ( 1+\sqrt{1+x} \right )\left ( 1+\sqrt{1-x} \right )\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ (do $1+\frac{2}{\left ( 1+\sqrt{1+x} \right )\left ( 1+\sqrt{1-x} \right )\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )}>0,\forall x\in [-1;1]$)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $\boxed {x=0}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 11-06-2013 - 18:53
- phanquockhanh yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh