Chủ đề này có 4 trả lời

[jb7185]

Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$

[ongngua97]

Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$

Em có cách này nhưng nó không  được hay cho lắm.

 

Đặt $\sqrt{2-x}=a\Rightarrow 3x-1=5-3a^{2}$

 

$x=2-a^{2}$

 

Từ pt đầu $\Rightarrow (3x-1)=(4x^{2}-3x-1-\sqrt{2-x})^{2}$

 

Hay $5-a^{2}=(4(2-a^{2})^{2}-3(2-a^{2})-1-a)^{2}$

 

Khai triển và phân tích nhân tử, sẽ có một nhân tử là $2a^{2}+a-2$

[dark templar]

Giải phương trình $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}=4x^2-3x-1$

Điều kiện của $x$ là $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$.

 

Khi đó PT tương đương:

$\begin{array}{l}\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1}  = 4{x^2} - \left( {3x + 2\sqrt {3x - 1} } \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = 2\left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {2x - \sqrt {3x - 1}  - 1} \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1} \right)}^2} - \left( {2 - x} \right)} \right]\end{array}$

$\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 - \sqrt {2 - x} } \right)$

$\Leftrightarrow \left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)} \right] = 0$

 

Do $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}>1$ (có thể bình phương lên để chứng minh) nên :

$$2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)>0$$.

 

Như vậy:

\[\begin{array}{rcl}\sqrt {2 - x}  + 1 = \sqrt {3x - 1}  &\Leftrightarrow& 3 - x + 2\sqrt {2 - x}  = 3x - 1\\&\Leftrightarrow& \sqrt {2 - x}  = 2\left( {x - 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 2 - x = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 4{x^2} - 7x + 2 = 0\\&\Leftrightarrow& x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{8}\end{array}\]

 

So sánh với điều kiện $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$,ta nhận $x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}$.

 

Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\boxed{\displaystyle x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-06-2013 - 22:28

[Ha Manh Huu]

 

Điều kiện của $x$ là $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$.

 

Khi đó PT tương đương:

$\begin{array}{l}\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1}  = 4{x^2} - \left( {3x + 2\sqrt {3x - 1} } \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = 2\left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {2x - \sqrt {3x - 1}  - 1} \right)\\\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1} \right)}^2} - \left( {2 - x} \right)} \right]\end{array}$

$\Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right) = \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 - \sqrt {2 - x} } \right)$

$\Leftrightarrow \left( {\sqrt {2 - x}  + 1 - \sqrt {3x - 1} } \right)\left[ {2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)} \right] = 0$

 

Do $\sqrt{3x-1}+\sqrt{2-x}>1$ (có thể bình phương lên để chứng minh) nên :

$$2 + \left( {2x + 1 + \sqrt {3x - 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 1}  - 1 + \sqrt {2 - x} } \right)>0$$.

 

Như vậy:

\[\begin{array}{rcl}\sqrt {2 - x}  + 1 = \sqrt {3x - 1}  &\Leftrightarrow& 3 - x + 2\sqrt {2 - x}  = 3x - 1\\&\Leftrightarrow& \sqrt {2 - x}  = 2\left( {x - 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 2 - x = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\&\Leftrightarrow& 4{x^2} - 7x + 2 = 0\\&\Leftrightarrow& x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{8}\end{array}\]

 

So sánh với điều kiện $2 \ge x \ge \frac{1}{3}$,ta nhận $x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}$.

 

Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\boxed{\displaystyle x=\frac{7+\sqrt{17}}{8}}$.

 

phân tích cái vế trái là (x-1)(4x+1) nên đk nó là x$\geq1$ nữa

[dark templar]

phân tích cái vế trái là (x-1)(4x+1) nên đk nó là x$\geq1$ nữa

Bạn đã lầm lẫn giữa điều kiện có nghiệm và điều kiện xác định của bài toán. Cái mà bạn có được chính là điều kiện để PT có nghiệm.