Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* - - - - 1 Bình chọn

$3^{x}+4^{y}=5^{z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 nolune

nolune

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 11-06-2013 - 20:45

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

  • $3^{x}+4^{y}=5^{z}$


#2 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 11-06-2013 - 21:24

xét đồng dư với 3 và 4 ta cm được x và z đều chẵn

đặt $ x=2*a$, $z=2*b$.

ta thay vào phương trình đầu ta suy ra

$5^{2*b}-3^{2*a}=4^y$

=> $(5^b+3^a)*(5^a-3^b)=4^y$

=>$ 5^b+3^a=2^m$ (1)

và $5^a-3^b=n$       (2)($m+n=2 \cdot y$ và n>m).

cộng theo từng vế suy ra m=1 và $ 5^b=1+2^{n-1}$(3).

thay m=1 vao pt (1)=>b lẻ=>$ b=2 \cdot k+1$ k là số tự nhiên.

từ (3) suy ra n=2.

từ đó ta tìm được x=y=z=2.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 12-06-2013 - 07:53

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#3 NguyenKieuLinh

NguyenKieuLinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-06-2013 - 21:59

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenKieuLinh: 14-06-2013 - 20:17

I LOVE MATH


#4 nolune

nolune

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 13-06-2013 - 21:10

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>1 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<1 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=1

Cho mình hỏi chia cho 5z thì phải ra  $\frac{3^{x}}{5^{z}}$ chứ. Với lại x=1 thì y,z bằng mấy?



#5 vutuanphong

vutuanphong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-03-2014 - 21:03

Giải phương trình:                      x= 4x

 

( Mình  mò được x = 2 và x = 4 nhưng không có cách nào để tóm được nó! Mọi người giúp với.) 



#6 lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma Thuột, Đăk Lăk
  • Sở thích:Số Học

Đã gửi 24-03-2014 - 19:01

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2

Tại sao cái này lại vô lí vậy bạn?  :closedeyes:


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#7 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 24-03-2014 - 19:05

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2

Nếu đề là $3^{x}+4^{x}=5^{x}$ thì mới làm được như vậy bạn à!


Đứng dậy và bước tiếp

#8 KunFTS

KunFTS

    Binh nhì

  • Banned
  • 10 Bài viết

Đã gửi 08-06-2014 - 15:40

:icon10:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:



#9 KunFTS

KunFTS

    Binh nhì

  • Banned
  • 10 Bài viết

Đã gửi 08-06-2014 - 15:41

Tại sao cái này lại vô lí vậy bạn?  :closedeyes:

làm sai rùi ha



#10 KunFTS

KunFTS

    Binh nhì

  • Banned
  • 10 Bài viết

Đã gửi 08-06-2014 - 15:42

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2

bạn làm vậy là sai rùi x đâu có = z đâu



#11 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 08-06-2014 - 17:43

Mình xin làm:

Chia cả 2 vế cho $5^{z }$ ta có:

$(\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^{y}=1$

Xét x>2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Xét x<2 $\Rightarrow$ vô lí (loại)

Vậy x=2, y=2,z=2

Làm sai rồi, đấy là bạn làm $x=y=z$



#12 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 08-06-2014 - 20:18

xét đồng dư với 3 và 4 ta cm được x và z đều chẵn

đặt $ x=2*a$, $z=2*b$.

ta thay vào phương trình đầu ta suy ra

$5^{2*b}-3^{2*a}=4^y$

=> $(5^b+3^a)*(5^a-3^b)=4^y$

=>$ 5^b+3^a=2^m$ (1)

và $5^a-3^b=n$       (2)($m+n=2 \cdot y$ và n>m).

cộng theo từng vế suy ra m=1 và $ 5^b=1+2^{n-1}$(3).

thay m=1 vao pt (1)=>b lẻ=>$ b=2 \cdot k+1$ k là số tự nhiên.

từ (3) suy ra n=2.

từ đó ta tìm được x=y=z=2.

Có ai hiểu tại sao $m=1$ không ạ?



#13 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 08-06-2014 - 20:23

Có ai hiểu tại sao $m=1$ không ạ?

Đây là một bài trong chuyên đề số học của VMF, các bạn có thể xem cách giải chi tiết trong đó (Tương tự như trên)


Đứng dậy và bước tiếp

#14 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 02-07-2016 - 22:28

Giải phương trình:                      x= 4x

 

( Mình  mò được x = 2 và x = 4 nhưng không có cách nào để tóm được nó! Mọi người giúp với.) 

Xem bài toán tổng quát cho $x^y=y^x$ ở đây:

 

http://diendantoanho...-26#entry643358



#15 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 02-07-2016 - 22:50

Có ai hiểu tại sao $m=1$ không ạ?

Tới đây đặt $c=5^a, d=3^b$ $gcd(c,2)=1$

$5^{2a}-3^{2b}=(c-d)(c+d)=-2^{2y}$

Vì $c+d>c-d$ suy ra:

\begin{cases} c+d=2^n\\ c-d=-2^m\\ m+n=2y \end{cases}

suy ra$ 2c+2^m=2^n \tag{1}$ và $2^m=2^n+2d \tag{2}$ nếu $n \geq2$ thì ở pt $(2)$ suy ra $m \geq2$ ( vì $2d>0$). Vậy vế phải pt $(1)$ chia hết cho $4$ mà vế trái dư 2 ( vì $gcd(c,2)=1$) suy ra vô lý.

Vậy $m,n<2$ tới đây xét các trường hợp thì dễ rồi.

 

Ngoài ra còn có thể đánh giá $x,y,z \geq 3$ vô lý vì vế trái của $3^x+4^y \equiv 9+0 \equiv 1 \pmod{4}$ trong khi $5^z \equiv 5^3 \equiv 5 \pmod{3}$ vô lý

Sau đó xét các trường hợp $x,y,z<3$ 



#16 ngoalong131209

ngoalong131209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định
  • Sở thích:Nônônô.....

Đã gửi 02-07-2016 - 23:07

xét đồng dư với 3 và 4 ta cm được x và z đều chẵn

đặt $ x=2*a$, $z=2*b$.

ta thay vào phương trình đầu ta suy ra

$5^{2*b}-3^{2*a}=4^y$

=> $(5^b+3^a)*(5^a-3^b)=4^y$

=>$ 5^b+3^a=2^m$ (1)

và $5^a-3^b=n$       (2)($m+n=2 \cdot y$ và n>m).

cộng theo từng vế suy ra m=1 và $ 5^b=1+2^{n-1}$(3).

thay m=1 vao pt (1)=>b lẻ=>$ b=2 \cdot k+1$ k là số tự nhiên.

từ (3) suy ra n=2.

từ đó ta tìm được x=y=z=2.

vì sao thay m =1 vào pt(1) thì suy ra b lẻ vậy



#17 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 04-07-2016 - 23:26

Sửa lại thành 5^b +3^a=2^n và 5^b-3^a=2^m suy ra 2*5^b=2^m+2^ n suy ra 5^b=1+2^(n-1)(*) và m=1 nên b lẻ vì xét (*) mod 3 do n-1 lẻ

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh