Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$
BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$
(1)
Ta lại có
$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$
(2)
Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)
Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có
$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$
(1)
Ta lại có
$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$
(2)
Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)
Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm
BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với
BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với
Giả sử $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều. Gọi $b_{i_{1}},...,b_{i_{n}}$ là 1 hoán vị của $b_{1},...,b_{n}$
Khi đó $a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{i_{1}}+...+a_{n}b_{i_{n}}$
Nếu $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì BĐT đổi chiều
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$
Giả sử c là số nhỏ nhất,bất đẳng thức tương đương :
$\left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{1}{ab}-\frac{1}{\left ( a+c \right )\left ( c+b \right )} \right ]+\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )\left [ \frac{1}{ac} -\frac{1}{\left ( a+c \right )\left ( a+b \right )}\right ]\geq 0$ (hiển nhiên đúng theo giả sử)
The love make me study harder
The enmity make me stronger
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh