Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{a+b}{a+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
chuyentoan1998

chuyentoan1998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$



#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết


Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$

BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$ 

(1)

Ta lại có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$ 

(2)

Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3
chuyentoan1998

chuyentoan1998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$ 

(1)

Ta lại có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$ 

(2)

Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm

BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với



#4
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với

Giả sử $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều. Gọi $b_{i_{1}},...,b_{i_{n}}$ là 1 hoán vị của $b_{1},...,b_{n}$

Khi đó $a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{i_{1}}+...+a_{n}b_{i_{n}}$

Nếu $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì BĐT đổi chiều


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#5
huynhviectrung

huynhviectrung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$

Giả sử c là số nhỏ nhất,bất đẳng thức tương đương :

$\left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{1}{ab}-\frac{1}{\left ( a+c \right )\left ( c+b \right )} \right ]+\left ( a-c \right )\left ( b-c \right )\left [ \frac{1}{ac} -\frac{1}{\left ( a+c \right )\left ( a+b \right )}\right ]\geq 0$ (hiển nhiên đúng theo giả sử) :lol:


The love make me study harder

The enmity make me stronger





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh