Chủ đề này có 3 trả lời

[NgADg]

1,CMR: Với n > 1 . Ta có : $n^n +5n^2-11n+5 \vdots (n-1)^2$

 

2,Với n là số tự nhiên khác 0

CMR : $2^{3^{n}} + 1 \vdots 3^{n}$

 

3,CRM: Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 5 thì $a^{8}+3a^4-4 \vdots 100$

 

 

[MoneyIsAll]

1,CMR: Với n > 1 . Ta có : $n^n +5n^2-11n+5 \vdots (n-1)^2$

 

 

$Bài  1$. 

Bài toán cần thêm điều kiện $n$ nguyên.( vì $n$ không nguyên dùng casio thử thì ta thấy mệnh đề trên sai).

Với $n=2$ thì hiển nhiên ta có đpcm.

Với $n>2$, ta có:

$n^n + 5n^2 -11n + 5 = n^n -n^2 + 6n^2 -6n + 5n - 5$

                                        $= n^2(n^{n-2} - 1) + (n-1)(6n-5)$

                                        $= n^2(n-1)(n^{n-3} + n^{n-4} +...+1) + (n-1)(6n-5)$

                                        $= (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} +...+ n^2 + 6n - 5)$

Mấu chốt của bài toán là đánh giá sau: $n \equiv 1(mod  n-1)$ nên $n^k \equiv 1(mod  n-1)$ và $6n \equiv 6(mod  n-1)$

Do đó: $n^{n-1} + n^{n-2} +...+ n^2 + 6n - 5 \equiv 0(mod  n-1)$

$\Rightarrow (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} +...+ n^2 + 6n - 5)  \vdots (n-1)^2.$

Phép chứng minh hoàn tất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoneyIsAll: 12-06-2013 - 13:09

[NgADg]

Tiếp bạn ơi

[bachhammer]

1,CMR: Với n > 1 . Ta có : $n^n +5n^2-11n+5 \vdots (n-1)^2$

 

2,Với n là số tự nhiên khác 0

CMR : $2^{3^{n}} + 1 \vdots 3^{n}$

 

3,CRM: Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 5 thì $a^{8}+3a^4-4 \vdots 100$

1, Ta có: $n^{n}-n+5(n-1)^{2}=(n^{2}-n)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1)+5(n-1)^{2}=(n-1)[(n^{n-1}-1)+(n^{n-2}-1)+(n^{n-3}-1)+...+n-1+n-1]+5(n-1)^{2}\vdots (n-1)^{2}$.

2, Ta có: $2^{3^{n}}+1=(2^{3^{n-1}})^{3}+1=(2^{3^{n-1}}+1)(2^{3^{n-1}.2}-2^{3^{n-1}}+1)=...=(2+1)(2^{3^{1}.2}-2^{3^{1}}+1)...((2^{3^{n-1}.2}-2^{3^{n-1}}+1))$. Ta thấy các biểu thức trong ngoặc đều có dạng $2^{3^{k}.2}-2^{3^{k}}+1\equiv 1+1+1\equiv 0(mod 3)$. Từ đó ta có đpcm.

3, Biển đổi lại ta có $(a^{4}+4)(a^{4}-1)$. Nhận thấy $(a^{4}+4);(a^{4}-1)$ không cùng tính chẵn lẻ mặt khác a mũ 4 là một số chính phương nên chia 4 dư 0 hoặc 1.Vì thế nên biểu thức đã cho chia hết cho 4. Mặt khác $(a^{4}-1+5)(a^{4}-1)\vdots 25$ theo định lý Fermat nên biểu thức đã cho chia hết cho 100 (25 và 4 nguyên tố cùng nhau).