Chủ đề này có 1 trả lời

[Strygwyr]

Bài toán : 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ bất kỳ thì $n$ luôn tồn tại 2 số nguyên dương $a$, $b$ sao cho :

$n=$[$a\sqrt{2}$] + [$b\sqrt{3}$]

                                                                                              (JBMO Shortlist 2000)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 12-06-2013 - 17:30

[nguyenta98]

Bài toán : 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ bất kỳ thì $n$ luôn tồn tại 2 số nguyên dương $a$, $b$ sao cho :

$n=$[$a\sqrt{2}$] + [$b\sqrt{3}$]

                                                                                              (JBMO Shortlist 2000)

Giải như sau:

Ta cm bằng quy nạp, thấy $1,2,3$ đúng

Giả sử đúng đến $n$ hay tồn tại $a,b \in Z+$ để $n=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]$

Ta sẽ cm đúng đến $n+1$ hay tồn tại $a',b' \in Z+$ để $n=[a'\sqrt{2}]+[b'\sqrt{3}]$

Thật vậy ta có theo GTQN $n=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]$

Có hai khả năng

KN1: Xét hai số $[\{a\sqrt{2}\}+\{\sqrt{2}\}],[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}]$ cả hai số ấy thì có ít nhất một số bằng $0$, không mất tổng quát giả sử $[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}]=0$ (do $[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}],[\{a\sqrt{2}\}+\{\sqrt{2}\}]$ chỉ nhận một trong hai GT là $0,1$)

Khi ấy xét $[a\sqrt{2}]+[(b+1)\sqrt{3}]=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}+\sqrt{3}]$

$=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]+[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}]+[\sqrt{3}]$

$=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]+1=n+1$ do đó chọn $a'=a,b'=b+1$ thì bài toán được cm, giả thiết quy nạp hoàn tất

KN2: Nếu cả hai số $[\{a\sqrt{2}\}+\{\sqrt{2}\}],[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}]$ cùng bằng $1$

Khi đó xét số $[(a-1)\sqrt{2}]+[(b+1)\sqrt{3}]$

$=[a\sqrt{2}]+[-\sqrt{2}]+[\{a\sqrt{2}\}+\{-\sqrt{2}\}]+[b\sqrt{3}]+[\sqrt{3}]+[\{b\sqrt{3}\}+\{-\sqrt{3}\}]$

$=[a\sqrt{2}]+[-\sqrt{2}]+[\{a\sqrt{2}\}+\{-\sqrt{2}\}]+[b\sqrt{3}]+[\sqrt{3}]+[\{b\sqrt{3}\}+\{\sqrt{3}\}]$

$=[a\sqrt{2}]+(-2)+1+[b\sqrt{3}]+1+1=[a\sqrt{2}]+[b\sqrt{3}]+1=n+1$ do đó chọn $a'=a-1,b'=b+1$ thì quy nạp hoàn tất

Tóm lại bài toán được cm hoàn toàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-06-2013 - 18:10