Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp mạnh theo $n$. Trước hết hãy cố định $\alpha$. Với $n=1$, xét 2 trường hợp:
Nếu $a_1>\alpha$ thì khi đó có đúng một giá trị $m_1$ thỏa $m_1>\alpha$ và do đó số giá trị này bé hơn $\frac{a_1}{\alpha}>1$.
Nếu $a_1\leq \alpha$ thì khi đó số giá trị $k$ thỏa $m_k>\alpha$ là $0<\frac{a_1}{\alpha}$.
Vậy giả thiết đúng với $n=1$, giả sử giả thiết đúng với mọi $1\leq k\leq n-1$. Ta sẽ chứng minh giả thiết đúng với $k=n$. Ta sẽ có hai trường hợp cho $m_n$ như sau:
TH1: $m_n\leq \alpha$ khi đó số giá trị $k$ ($1\leq k\leq n$) mà $m_k>\alpha$ bằng số giá trị $k$ ($1\leq k\leq n-1$) mà $m_k>\alpha$ và số giá trị này bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{\alpha}\leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha }$. (đúng)
TH2: $m_n>\alpha$ khi đó gọi $1\leq j\leq n$ là số thỏa $a_j+a_{j+1}+...+a_n>(n-j+1)\alpha$. Rõ ràng số các số $k$ ($1\leq k\leq n$) để $m_k>\alpha$ bằng tổng số các số $i$ ($1\leq i\leq j-1$) để $a_i>\alpha$ và tổng số các số $i$ ($j\leq i\leq n$) để $a_j>\alpha$. Theo giả thiết quy nạp thì tổng số các số này bé hơn
$\frac{a_1+a_2+..+a_{j-1}}{\alpha }+n-k+1< \frac{a_1+a_2+..+a_{j-1}}{\alpha }+\frac{a_j+a_{j+1}+...+a_n}{\alpha }=\frac{a_1+a_2+..+a_n}{\alpha }$ . (đúng)
Vậy theo giả thiết quy nạp bài toán được chứng minh.