Chủ đề này có 3 trả lời

[mrjackass]

Cho các số $x,y,z$ thuộc đoạn $[\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}]$

Chứng minh rằng: $(x^2+y^2+z^2)^2-(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2\leq-2$

 

 

 

[babystudymaths]

Giải như sau : Do ĐK đề nên ta có: $(x^{2}-\frac{1}{3})(x^{2}-\frac{2}{3})\leq 0\Leftrightarrow x^{4}+\frac{2}{9}\leq x^{2}$ và $(xy-\frac{1}{3})(xy-\frac{2}{3})\leq ,0\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+\frac{2}{9}\leq xy$

khai triển bđt cần chứng minh $\sum \frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\sum 2x^{2}\geq 2+\sum x^{4}+\sum 2x^{2}y^{2}$, Áp dụng 2 bđt con trên vào bài và chú ý $\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}\geq 2y^{2}$ (CÔ SI 2 số) , ta dễ dàng suy ra đ.p.c.m,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= một phần căn ba

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 14-06-2013 - 00:30

[babystudymaths]

Cho các số $x,y,z$ thuộc đoạn $[\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}]$

Chứng minh rằng: $(x^2+y^2+z^2)^2-(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2\leq-2$

[mrjackass]

Giải như sau : Do ĐK đề nên ta có: $(x^{2}-\frac{1}{3})(x^{2}-\frac{2}{3})\leq 0\Leftrightarrow x^{4}+\frac{2}{9}\leq x^{2}$ và $(xy-\frac{1}{3})(xy-\frac{2}{3})\leq ,0\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+\frac{2}{9}\leq xy$

khai triển bđt cần chứng minh $\sum \frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\sum 2x^{2}\geq 2+\sum x^{4}+\sum 2x^{2}y^{2}$, Áp dụng 2 bđt con trên vào bài và chú ý $\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}z^{2}}{x^{2}}\geq 2y^{2}$ (CÔ SI 2 số) , ta dễ dàng suy ra đ.p.c.m,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= một phần căn ba

Có thể ngắn gọn hơn như sau: Từ điều kiện của $x,y,z$ ta có $1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 2$

Lại có $(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2\geq3(x^2+y^2+z^2)$

Do đó ta cần CM: $(x^2+y^2+z^2)^2-3(x^2+y^2+z^2) \leq -2 \iff (x^2+y^2+z^2-1)(x^2+y^2+z^2-2) \leq 0$ (luôn đúng)