Chủ đề này có 2 trả lời

[BlueKnight]

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng $IH, IK, IL$ theo thứ tự vuông góc với $BC, CA, AB$. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

 

[NgADg]

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng $IH, IK, IL$ theo thứ tự vuông góc với $BC, CA, AB$. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

Bài này có thể giải như sau :

Xét các tam giác vuông ALI và AKI, ta có :

$$ Al^2 + LI^2 = AI^2 = AK^2 + KI^2 $$

$$BH^2 + IH^2 = BI^2 = BL^2 + LI^2 $$

$$CK^2 + KI^2 = CI^2 = CH^2 + IH^2 $$

=>$$AL^2 + BH^2 + CK^2 = AK^2 + CH^2 + BL^2$$

=>2($AL^2 + BH^2 + CK^2$)= ( $AL^2 + LB^2$)+($BH^2 + HC^2$)+($CK^2+KA^2$)

Đến đây ta sài BĐT Am - Gm dấu = xảy ra <=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 15-06-2013 - 22:29

[PTKBLYT9C1213]

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng $IH, IK, IL$ theo thứ tự vuông góc với $BC, CA, AB$. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

Ta có:

$BL^{2}+HC^{2}+AK^{2}=(IB^{2}-IL^{2})+(IC^{2}-IH^{2})+(IA^{2}-IK^{2})=(IB^{2}-IH^{2})+(IC^{2}-IK^{2})+(IA^{2}-IL^{2})=AL^{2}+BH^{2}+KC^{2}$

Nên $2(AL^{2}+BH^{2}+KC^{2})=AL^{2}+BH^{2}+KC^{2}+BL^{2}+AK^{2}+HC^{2}=(AL^{2}+BL^{2})+(BH^{2}+HC^{2})+(CK^{2}+AK^{2})\geq \frac{(AL+BL)^{2}}{2}+\frac{(BH+HC)^{2}}{2}+\frac{(CK+AK)^{2}}{2}=\frac{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}{2}$

$\Rightarrow AL^{2}+BH^{2}+KC^{2}\geq \frac{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}{4}$

Dấu "=" khi I là tâm đường tròn ngoại tiếp.