Giải bất phương trình $x-3+\sqrt{15-x}\geq\sqrt{2(x^2-7x+24)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-06-2013 - 10:00
Giải bất phương trình $x-3+\sqrt{15-x}\geq\sqrt{2(x^2-7x+24)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-06-2013 - 10:00
Giải bất phương trình $x-3+\sqrt{15-x}\geq\sqrt{2(x^2-7x+24)}$
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{15-x}\leq \sqrt{2(x^{2}-6x+9+15-x)}=\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$ $(1)$
Mặt khác $x-3\leq |x-3|=\sqrt{x^{2}-6x+9}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $x-3+\sqrt{15-x}\leq\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$
Dấu "=" xảy ra $\iff x = 6$
Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=6}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-06-2013 - 11:04
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{15-x}\leq \sqrt{2(x^{2}-6x+9+15-x)}=\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$ $(1)$
Mặt khác $x-3\leq |x-3|=\sqrt{x^{2}-6x+9}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $x-3+\sqrt{15-x}\leq\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$
Dấu "=" xảy ra $\iff x = 3$
Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=3}$
Mình chưa hiểu lắm cái chỗ bất đẳng thức (1). Với lại thay x=3 vào có thỏa mãn đâu, chắc nhầm cái chỗ giải dấu '=' xảy ra
Mình chưa hiểu lắm cái chỗ bất đẳng thức (1). Với lại thay x=3 vào có thỏa mãn đâu, chắc nhầm cái chỗ giải dấu '=' xảy ra
Mình nhầm chút.
Chỗ bất đẳng thức kia là áp dụng bất đẳng thức này $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$
Chứng minh có thể biến đổi tương đương để ra $\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq 0$ hoặc sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$
$\left ( 1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b} \right )^{2}\leq \left ( 1^{2}+1^{2} \right )\left ( (\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2} \right ) $
$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$
Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?
Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh