Chủ đề này có 5 trả lời

[younglady9x]

Giải bất phương trình $x-3+\sqrt{15-x}\geq\sqrt{2(x^2-7x+24)}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-06-2013 - 10:00

[banhgaongonngon]

Giải bất phương trình $x-3+\sqrt{15-x}\geq\sqrt{2(x^2-7x+24)}$

 

Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có

$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{15-x}\leq \sqrt{2(x^{2}-6x+9+15-x)}=\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$   $(1)$

Mặt khác $x-3\leq |x-3|=\sqrt{x^{2}-6x+9}$                                                                     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $x-3+\sqrt{15-x}\leq\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$

Dấu "=" xảy ra $\iff x = 6$

Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-06-2013 - 11:04

[younglady9x]

Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có

$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{15-x}\leq \sqrt{2(x^{2}-6x+9+15-x)}=\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$      $(1)$

Mặt khác $x-3\leq |x-3|=\sqrt{x^{2}-6x+9}$                                                                     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $x-3+\sqrt{15-x}\leq\sqrt{2(x^{2}-7x+24)}$

Dấu "=" xảy ra $\iff x = 3$

Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=3}$

Mình chưa hiểu lắm cái chỗ bất đẳng thức (1). Với lại thay x=3 vào có thỏa mãn đâu, chắc nhầm cái chỗ giải dấu '=' xảy ra

[banhgaongonngon]

Mình chưa hiểu lắm cái chỗ bất đẳng thức (1). Với lại thay x=3 vào có thỏa mãn đâu, chắc nhầm cái chỗ giải dấu '=' xảy ra

 

Mình nhầm chút.

Chỗ bất đẳng thức kia là áp dụng bất đẳng thức này $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$

Chứng minh có thể biến đổi tương đương để ra $\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq 0$ hoặc sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$

$\left ( 1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b} \right )^{2}\leq \left ( 1^{2}+1^{2} \right )\left ( (\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2} \right ) $

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$

[younglady9x]

Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?

[Crystal]

Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?

 

Theo quy định, thí sinh chỉ được phép sử dụng các kiến thức trong chương trình SGK để làm bài. Nếu dùng các chương trình kiến thức ngoài SGK thì phải chứng minh lại trước khi sử dụng. 

 

Cũng theo chương trình Toán phổ thông hiện hành, bất đẳng thức Bunhiacopxki chỉ được đưa vào bài đọc thêm. Chính vì vậy khi áp dụng BĐT Bunhiacopxki thì bạn phải chứng minh lại. Đây là một công thức khá phổ biến và không khó để chứng minh.