Giúp mình vài bài này với: Cho a,b,c>0, CMR:
2/ $$\frac{a^{2}+b^{2}}{c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{b}\geq 2(a+b+c)$$
3/ $$\frac{2\sqrt{a}}{a^{3}+b^{2}}+\frac{2\sqrt{b}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{2\sqrt{c}}{c^{3}+a^{2}} \leq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$$
2/
Đặt vế trái của biểu thức đã cho là $A$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $A\geq 2\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )$
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ 2 số $\left ( \frac{ab}{c},\frac{bc}{a} \right );\left ( \frac{bc}{a},\frac{ca}{b} \right );\left ( \frac{ca}{b},\frac{ab}{c} \right )$ ta có đpcm
3/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu thức ta có: $a^{3}+b^{2}\geq 2ab\sqrt{a}$
Tương tự: $b^{3}+c^{2}\geq 2bc\sqrt{b}$, $c^{3}+a^{2}\geq 2ca\sqrt{c}$
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$ luôn đúng nên ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 15-06-2013 - 16:49