Chủ đề này có 13 trả lời

[Yagami Raito]

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$

[Juliel]

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$

[badboykmhd123456]

$$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$$

Bất đẳng thức này là hệ quả của BĐT nào bạn nhỉ có cách chứng minh khác ngoài biến đổi tương đương không

@@: không nên lạm dụng viết tắt quá nhiều bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:19

[Yagami Raito]

The solution

Vì $a>-1$ nên $(a-3)^2(2a+3)\geq 0$ $\Leftrightarrow (a^2-6a+9)(2a+3)\geq 0 \Leftrightarrow 2a^3\geq 9a^2-27.$

Tương tự $2b^3\geq 9b^2-27$, .$2c^3\geq 9c^2-27$ nên

$2P=2(a^3+b^3+c^3)\geq 9(a^2+b^2+c^2)-81=9.27-81=162$.

Vậy $P\geq 81$ và GTNN của $P$ là $81$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:35

[binvippro]

$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$

Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$

tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$

$ c^3-3c^2\geq -4$

Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$

nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$

Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3

[bachhammer]

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$

Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!

[Yagami Raito]

$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$

Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$

tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$

$ c^3-3c^2\geq -4$

Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$

nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$

Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Thêm 1 đáp án nữa à...Có ai đứng ra xem giùm kết quả nào là đúng không?

[binvippro]

xem lại đề đi nào

[Juliel]

Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1)  thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá trị đó nếu P đạt min

 

@binvippro : Thì mình nói là có thể x = y = z = 3 không phải là điều kiện của biến để P đạt min mà bạn ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 11:33

[binvippro]

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$

hình như sai đề rồi bạn ơi. cách giải của mình đúng mà khi ra kết quả lại không có giá trị thoả mãn

[binvippro]

Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1)  thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá dâ

chưa chắc dấu = xảy ra khi x=y=z=3 đâu bạn

[Yagami Raito]

Xin lỗi tất cả mọi người, mình tính sai (đã sưa lại) , kết quả là 81...

[SPhuThuyS]

Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!

Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc

[MoneyIsAll]

Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc

Đúng là BĐT Bunhia ko cần điều kiện a,b,c nhưng mấu chốt là ở chỗ bạn ấy nhân cả 2 vế của BĐT với $\frac{1}{a+c+c}$ hơn nữa ở đây $a+b+c$ chưa chắc dương nên không thể đảm bảo rằng BĐT không đổi chiều...

Ở bài này mình nghĩ là cách giải của bạn: nguyentrunghieua là chính xác.