Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 16-06-2013 - 10:58

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 16-06-2013 - 11:04

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 16-06-2013 - 11:10

$$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$$

Bất đẳng thức này là hệ quả của BĐT nào bạn nhỉ có cách chứng minh khác ngoài biến đổi tương đương không

@@: không nên lạm dụng viết tắt quá nhiều bạn nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:19


#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 16-06-2013 - 11:14

The solution

Vì $a>-1$ nên $(a-3)^2(2a+3)\geq 0$ $\Leftrightarrow (a^2-6a+9)(2a+3)\geq 0 \Leftrightarrow 2a^3\geq 9a^2-27.$

Tương tự $2b^3\geq 9b^2-27$, .$2c^3\geq 9c^2-27$ nên

$2P=2(a^3+b^3+c^3)\geq 9(a^2+b^2+c^2)-81=9.27-81=162$.

Vậy $P\geq 81$ và GTNN của $P$ là $81$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:35

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#5 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 16-06-2013 - 11:18

$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$

Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$

tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$

$ c^3-3c^2\geq -4$

Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$

nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$

Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3



#6 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 16-06-2013 - 11:19

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$

Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#7 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 16-06-2013 - 11:21

$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$

Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$

tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$

$ c^3-3c^2\geq -4$

Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$

nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$

Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Thêm 1 đáp án nữa à...Có ai đứng ra xem giùm kết quả nào là đúng không?


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#8 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 16-06-2013 - 11:23

xem lại đề đi nào



#9 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 16-06-2013 - 11:25

Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1)  thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá trị đó nếu P đạt min

 

@binvippro : Thì mình nói là có thể x = y = z = 3 không phải là điều kiện của biến để P đạt min mà bạn !  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 11:33

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#10 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 16-06-2013 - 11:28

Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$

hình như sai đề rồi bạn ơi. cách giải của mình đúng mà khi ra kết quả lại không có giá trị thoả mãn



#11 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 16-06-2013 - 11:30

Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1)  thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá dâ

chưa chắc dấu = xảy ra khi x=y=z=3 đâu bạn



#12 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 16-06-2013 - 11:31

Xin lỗi tất cả mọi người, mình tính sai (đã sưa lại) , kết quả là 81...


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#13 SPhuThuyS

SPhuThuyS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:thích bóng đá và chơi game bóng đá

Đã gửi 16-06-2013 - 11:34

Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!

Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc


 

 


#14 MoneyIsAll

MoneyIsAll

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM city

Đã gửi 16-06-2013 - 15:09

Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc

Đúng là BĐT Bunhia ko cần điều kiện a,b,c nhưng mấu chốt là ở chỗ bạn ấy nhân cả 2 vế của BĐT với $\frac{1}{a+c+c}$ hơn nữa ở đây $a+b+c$ chưa chắc dương nên không thể đảm bảo rằng BĐT không đổi chiều...

Ở bài này mình nghĩ là cách giải của bạn: nguyentrunghieua là chính xác.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh