Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$
#2
Đã gửi 16-06-2013 - 11:04
Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$
- Yagami Raito và mrwin99 thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#3
Đã gửi 16-06-2013 - 11:10
$$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$$
Bất đẳng thức này là hệ quả của BĐT nào bạn nhỉ có cách chứng minh khác ngoài biến đổi tương đương không
@@: không nên lạm dụng viết tắt quá nhiều bạn nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:19
- mrwin99 yêu thích
#4
Đã gửi 16-06-2013 - 11:14
The solution
Vì $a>-1$ nên $(a-3)^2(2a+3)\geq 0$ $\Leftrightarrow (a^2-6a+9)(2a+3)\geq 0 \Leftrightarrow 2a^3\geq 9a^2-27.$
Tương tự $2b^3\geq 9b^2-27$, .$2c^3\geq 9c^2-27$ nên
$2P=2(a^3+b^3+c^3)\geq 9(a^2+b^2+c^2)-81=9.27-81=162$.
Vậy $P\geq 81$ và GTNN của $P$ là $81$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 11:35
- binvippro, mrwin99, bachhammer và 1 người khác yêu thích
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#5
Đã gửi 16-06-2013 - 11:18
$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$
Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$
tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$
$ c^3-3c^2\geq -4$
Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$
nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$
Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3
#6
Đã gửi 16-06-2013 - 11:19
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$
Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!
- Yagami Raito yêu thích
#7
Đã gửi 16-06-2013 - 11:21
$ (^{a^3+1})-3(^{a^2-1})= (a+1)(a^2-a+1)-3(a-1)(a+1)=(a+1)(a^2-a+1-3a+3)=(a+1)(a^2-4a+4)=(a+1)^{(a-2)^2}\geq 0$
Do đó $ a^3-3a^2\geq -4$
tương tự $ b^3-3b^2\geq -4$
$ c^3-3c^2\geq -4$
Suy ra $ a^3+b^3+c^3-3(a^2+b^2+c^2)\geq -12$
nên $ a^3+b^3+c^3\geq -12+3(a^2+b^2+c^2)= 69$
Vậy min B=69 dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Thêm 1 đáp án nữa à...Có ai đứng ra xem giùm kết quả nào là đúng không?
- mrwin99 và datcoi961999 thích
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#8
Đã gửi 16-06-2013 - 11:23
xem lại đề đi nào
#9
Đã gửi 16-06-2013 - 11:25
Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1) thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá trị đó nếu P đạt min
@binvippro : Thì mình nói là có thể x = y = z = 3 không phải là điều kiện của biến để P đạt min mà bạn !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 11:33
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#10
Đã gửi 16-06-2013 - 11:28
Cho các số thực $a,b,c>-1$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=27$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=a^3+b^3+c^3$
hình như sai đề rồi bạn ơi. cách giải của mình đúng mà khi ra kết quả lại không có giá trị thoả mãn
- Yagami Raito yêu thích
#11
Đã gửi 16-06-2013 - 11:30
Mình cũng thấy như vậy nhưng rõ ràng nếu dấu bằng xảy ra tại x = y = z = 3 thì chắc chắn MinP = 81 và mọi kết quả khác đều sai. Min P = 108 là sai không cần bàn cãi vì với x = y = z = 3 (thỏa mãn x,y,z > -1) thì P = 81 < 108. Do vậy thì có thể dấu bằng không xảy ra tại những giá dâ
chưa chắc dấu = xảy ra khi x=y=z=3 đâu bạn
#12
Đã gửi 16-06-2013 - 11:31
Xin lỗi tất cả mọi người, mình tính sai (đã sưa lại) , kết quả là 81...
- mrwin99 và datcoi961999 thích
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#13
Đã gửi 16-06-2013 - 11:34
Vốn dĩ a+b+c chưa chắc đã dương. Vì thế nên cũng chưa chắc giải được như vậy!
Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc
#14
Đã gửi 16-06-2013 - 15:09
Dùng bđt Bu-nhi-a không cần quan tâm đến đk a,bc
Đúng là BĐT Bunhia ko cần điều kiện a,b,c nhưng mấu chốt là ở chỗ bạn ấy nhân cả 2 vế của BĐT với $\frac{1}{a+c+c}$ hơn nữa ở đây $a+b+c$ chưa chắc dương nên không thể đảm bảo rằng BĐT không đổi chiều...
Ở bài này mình nghĩ là cách giải của bạn: nguyentrunghieua là chính xác.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh