Chủ đề này có 3 trả lời

[Yagami Raito]

Có $2009$ tách uống trà đặt trên một bàn.Lúc đầu tất cả các tách đều được đặt ngửa lên.Giả sử mỗi lần người ta cho $208$ tách trong chúng lật ngược lại. Hỏi sau một số lần như vậy, có thể làm cho tất cả các tách đều úp được không? Trả lời câu hỏi này trong trương hợp chỉ có $2008$ tách

[DarkBlood]

Có $2009$ tách uống trà đặt trên một bàn.Lúc đầu tất cả các tách đều được đặt ngửa lên.Giả sử mỗi lần người ta cho $208$ tách trong chúng lật ngược lại. Hỏi sau một số lần như vậy, có thể làm cho tất cả các tách đều úp được không? Trả lời câu hỏi này trong trương hợp chỉ có $2008$ tách

Mình mới làm được ý đầu

Giả sử thay các tách đặt ngửa thành số $-1,$ các tách úp thành số $1.$

 

Khi đó, ban đầu ta có $2009$ số $-1.$ 

 

Đổi $208$ số $-1$ thành số $1,$ còn lại $1801$ số $-1$ và $208$ số $1$

 

Tích của các số này là $-1$

 

Thực hiện đổi $a$ số $-1$ thành số $1$ và $b$ số $1$ thành số $-1,$ trong đó $a,\ b \in \mathbb{Z}^+\ ;\ a+b=208$

 

Khi đó ta có $1801-a+b$ số $-1$ và $208+a-b$ số $1.$

 

Tích của các số này là $(-1)^{1801-a+b}\ .\ 1^{208+a-b}$

 

Vì $a+b=208$ chia hết cho $2$ nên $a,\ b$ cùng tính chẵn lẻ hay $-a+b$ chia hết cho $2,$ suy ra $1801-a+b$ không chia hết cho $2.$

 

Do đó $(-1)^{1801-a+b}\ .\ 1^{208+a-b}=-1$

 

Như vậy sau mỗi lần đổi $208$ số bất kì thì cuối cùng tích các số đều là $-1.$

 

Vậy không tồn tại trường hợp tất cả các số đều là $1$ hay trên tất cả các tách trà trên bàn đều úp.

 

-------

Câu hỏi ý hai mình nghĩ là có thể nhưng chưa chứng minh được :|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 11-07-2013 - 12:05

[Yagami Raito]

Thế này nhé:

Nếu có 2009 tách, ta không thể quay úp xuống tất cả được. Tại mỗi thời điểm $x$ tách đặt ngửa được làm úp xuống và có $208-x$ tách úp xuống được lật lên .Do đó số các tách đang úp đã thay đổi đi một số là $|208-2x|$, và đây là một  số chẵn.Điều này có nghĩa là số các tách đặt úp xuống không bị thay đổi về tính chẵn lẻ.Ban đầu số này là $0$, là số chẵn. Do đó không thể thay đổi số  này thành 2009, là số lẻ.

Nếu số tách là $2008$, có thể lật úp cả xuống. Điều này có thể thực hiện như sau:.

Bước 1: Ta đánh số các tách $1,2,3,..,2008$ 

Bước 2:Ta úp các tách số $1,3,4,..,209.$.

Bước 3: Đảo ngược các tách $2,3,4,..209$.

 (Sau các bước trên thực chất chỉ có tách 1,2 là bị lật)

Bước 4: Lặp lại quá trình này 1004 lần

[PhuongPhu281999]

Mình mới làm được ý đầu

Giả sử thay các tách đặt ngửa thành số $-1,$ các tách úp thành số $1.$

 

Khi đó, ban đầu ta có $2009$ số $-1.$ 

 

Đổi $208$ số $-1$ thành số $1,$ còn lại $1801$ số $-1$ và $208$ số $1$

 

Tích của các số này là $-1$

 

Thực hiện đổi $a$ số $-1$ thành số $1$ và $b$ số $1$ thành số $-1,$ trong đó $a,\ b \in \mathbb{Z}^+\ ;\ a+b=208$

 

Khi đó ta có $1801-a+b$ số $-1$ và $208+a-b$ số $1.$

 

Tích của các số này là $(-1)\ .\ (1801-a+b)\ .\ 1\ .\ (208+a-b)$

 

Vì $a+b=208$ chia hết cho $2$ nên $a,\ b$ cùng tính chẵn lẻ hay $-a+b$ chia hết cho $2,$ suy ra $1801-a+b$ không chia hết cho $2.$

 

Do đó $(-1)\ .\ (1801-a+b)\ .\ 1\ .\ (208+a-b)=-1$

 

Như vậy sau mỗi lần đổi $208$ số bất kì thì cuối cùng tích các số đều là $-1.$

 

Vậy không tồn tại trường hợp tất cả các số đều là $1$ hay trên tất cả các tách trà trên bàn đều úp.

 

-------

Câu hỏi ý hai mình nghĩ là có thể nhưng chưa chứng minh được :|

Cho em hỏi chút xíu là cái đoạn neày $(-1)\ .\ (1801-a+b)\ .\ 1\ .\ (208+a-b)=-1$

Nên là $$(-1)\ ^{(1801-a+b)} \ 1^{(208+a-b)}=-1$$ mới đúng là -1 chứ ạk???

 

@Dark: Cảm ơn bạn. Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 11-07-2013 - 12:04