Bài toán: Cho dãy số $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_1=\frac{1}{2}$ và $a_{n+1}=\frac{a_{n}^2}{a_{n}^2-a_n+1}$.
Tìm $\left\lfloor \sum_{k=1}^{n}a_k \right\rfloor$
Ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên số thực $x$.
Bài toán: Cho dãy số $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_1=\frac{1}{2}$ và $a_{n+1}=\frac{a_{n}^2}{a_{n}^2-a_n+1}$.
Tìm $\left\lfloor \sum_{k=1}^{n}a_k \right\rfloor$
Ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên số thực $x$.
Bài toán: Cho dãy số $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_1=\frac{1}{2}$ và $a_{n+1}=\frac{a_{n}^2}{a_{n}^2-a_n+1}$.
Tìm $\left\lfloor \sum_{k=1}^{n}a_k \right\rfloor$
Ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên số thực $x$.
Note
Đầu tiên thì $a_{n+1}=\frac{a_n^3+a_n^2}{a_n^3+1}\quad\underrightarrow{\text{induction}}\quad 0<a_n<1,\;\;\forall n$
Tiếp theo:
$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}\left(\frac{1}{a_n}-1\right)+1$
$\underrightarrow{\text{induction}}\quad \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_1a_2...a_n}+1$
$\underrightarrow{\text{induction}}\quad S_n=\sum_{k=1}^n a_k=1-a_1a_2...a_n$
Từ đó suy ra $\left\lfloor S_n\right\rfloor=0$
trong báo THTT gần đây có 1 bài cũng gần như thế này
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh