Cho x, y > 0 thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=2$. Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$
Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$
#1
Đã gửi 18-06-2013 - 10:16
#2
Đã gửi 18-06-2013 - 10:29
Cho x, y > 0 thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=2$. Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$
Ta có:$x^{2}-4xy+6y^{2}+2x+4=(x-2y)^{2}+2y^{2}+2x+\frac{8}{x^{2}}+\frac{2}{y^{2}}=(x-2y)^{2}+(x+x+\frac{8}{x^{2}})+(2y^{2}+\frac{2}{y^{2}})\geq 0+6+4=10\Rightarrow x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geq 10-4=6$.
Dấu bằng xảy ra khi x=2 và y=1.
- SOYA264 yêu thích
#3
Đã gửi 18-06-2013 - 10:32
$ x^2-4xy+6y^2+2x= \left ( x^2-4xy+4y^2 \right )+2y^2+2x\geq 2y^2+2x$
Đặt P=$ x+y^2$
Ta có: P=$ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}x.\frac{1}{2}x.y^2}$
$ P^3= 27.\frac{1}{4}x^2y^2=\frac{27}{4}x^2y^2= \frac{27}{16}x^2y^2\left ( \frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )^2\geq \frac{27}{16}x^2y^2.\frac{16}{x^2y^2}= 27$
Suy ra P$ \geq 3$ nên 2P$ \geq 6$ suy ra đpcm
- SOYA264 và Marshmello thích
#4
Đã gửi 18-06-2013 - 10:33
dấu = xảy ra khi x=2 y=1
#5
Đã gửi 18-06-2013 - 21:04
Cảm ơn các bạn nhé
#6
Đã gửi 21-04-2019 - 17:38
#7
Đã gửi 22-04-2019 - 10:35
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 23-04-2019 - 21:11
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh