Chủ đề này có 95 trả lời

[vutuanhien]

Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài

 

Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Các anh chị cho em làm với

Áp dụng BĐT $\frac{1}{t^2}+\frac{1}{p^2}\geq \frac{8}{(t+p)^2}$, ta có

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}$

(1)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $3y+6=(x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1)\geq 2x+4y+2x\Rightarrow 6\geq 2x+y+2z\Rightarrow 3\geq x+\frac{y}{2}+z$ 

(2)

 

Từ (1) và (2) suy ra GTNN của P là $1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=z=1, y=2$

[25 minutes]

Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài

 

Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Tham khảo thêm 2 cách ở đây

http://diendantoanho...ac4y22frac8z32/

[T M]

Còn bài 7 nữa nhé mọi người, với lại post đề mới thì phải ghi rõ nguồn bài nhé. Cảm ơn các bạn.

[T M]

Bài 10. Cho $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$, tìm GTLN của biểu thức

 

$$F=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+a+c}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}$$

 

 

Đề số 9 - THTT - 2013

[trauvang97]

Bài 10. Cho $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$, tìm GTLN của biểu thức

 

$$F=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+a+c}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}$$

 

 

Đề số 9 - THTT - 2013

 

Ta có: $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$ 

 

Tương tự: $(b^{2}+a+c)(1+a+c)\geq (a+b+c)^{2}$

 

                $(c^{2}+a+b)(1+a+b)\geq (a+b+c)^{2}$

 

Do đó:

 

$P\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có:

 

$(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+a+c}+c\sqrt{1+a+b})^{2}\leq (a+b+c)(a+b+c+2(ab+bc+ca))\leq (a+b+c)\left [ (a+b+c)+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2} \right ]$

 

 

Do đó: $P\leq \sqrt{\frac{a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}{a+b+c}}=\sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}$

 

           $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=\sqrt{3}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 19-06-2013 - 15:14

[phanquockhanh]

Bài 11: Cho các số thực $a,b,c\geq 0 $ thỏa $ c>0 ,a^3+b^3 =c(c-1)$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

(Đề 2 - Onluyentoan.vn - 2012)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 19-06-2013 - 15:41

[vutuanhien]

Ủng hộ topic thêm 1 bài nữa

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+1}}$

(Đề thi thử trường Đại học Sư Phạm lần 1 năm 2011)

[T M]

Ủng hộ topic thêm 1 bài nữa

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+1}}$

(Đề thi thử trường Đại học Sư Phạm lần 1 năm 2011)

 

Ta có

 

$$P.\left ( \sum a \sqrt{b^2+1} \right )=\left ( \frac{a^3}{a^2\sqrt{b^2+1}}+\frac{b^3}{b^2\sqrt{c^2+1}}+\frac{c^3}{c^2\sqrt{a^2+1}} \right ).\left ( a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1} \right )  \\  \geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2=9$$

 

Mặt khác

 

$$\left (  \sum a\sqrt{b^2+1} \right )^2 \leq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( a^2+b^2+c^2+3 \right )\leq 18$$

 

Từ đây dễ có

 

$$P \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$$

 

Bài toán được giải quyết. $\blacksquare$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 15:33

[T M]

Bạn phải gõ số bài + nguồn bài nhé. 2 bài bạn post lần lượt là bài 5,6.

 

_____

 

Bài 7. Cho các số dương $a \neq b$ thỏa mãn $a^2+2b=12$. Tìm GTNN của 

 

$$P=\frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4}+\frac{5}{8(a-b)^2}$$

 

Đề thi thử lần 4 - Chuyên ĐH Vinh

 

Chém nốt bài này.

 

Dự đoán đẳng thức tại $a=2$ và $b=4$, tức là $b=2a$. Cái khó của bài chính là đại lượng $(a-b)^2$. Ta sẽ "khử" nó bằng công cụ quen thuộc. Đưa về một biến + đạo hàm.

 

Ta có $12=a^2+b+b \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2} \Longleftrightarrow a^2b^2 \leq 64$. Từ đây dễ thấy $\frac{a^2b^2}{64} \leq 1$

 

Ta sẽ " đồng bậc " bất đẳng thức như sau

 

$$P \geq \frac{a^2b^2}{64}\left ( \frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4} \right )+\frac{5}{8}.\frac{ab}{8(a-b)^2}$$

 

Đến đây cũng đi được nửa đoạn đường rồi. Ta biến đổi $P$ một lần nữa.

 

$$P=\frac{1}{64}\left ( 4\frac{a^2}{b^2}+4\frac{b^2}{a^2} +\frac{5}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}\right )$$

 

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} =t \ \ \ t > 2$ ta có $P \geq \frac{1}{8}\left ( t^2-2 \right )+\frac{5}{64}.\frac{1}{t-2}$

 

Đặt $P=f(t) \ \ \ t>2$ dễ có $f'(t)=0 \Longleftrightarrow t=\frac{5}{2}$. Kẻ bảng biến thiên suy ra $f(t) \geq \frac{27}{64}$

 

Vậy $Min_P=\frac{27}{64}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=2$ và $b=4$. $\blacksquare$

 

Nhận xét

 

Đây là một bài toán khó. Kể cả khi đồng bậc và biến đổi được, thì cũng phải cân nhắc để đặt ẩn cho đúng điểm rơi của đẳng thức. Ta thấy rằng có thể đặt $\frac{a}{b}=t$ nhưng ta khó có thể đặt điều kiện cho $t$ và đạo hàm $f(t)$ cũng không có $f'\left ( \frac{1}{2} \right )$ bằng $0$. Vì vậy ta phải đặt ẩn như trong lời giải trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 20-06-2013 - 15:52

[T M]

Đổi vị một chút nha các bạn

 

 

Bài 12. Cho các số $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và $n\leq 3$. Chứng minh rằng

 

$$a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3n}{a+b+c} \geq 3+n$$

 

Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2013

[25 minutes]

Đổi vị một chút nha các bạn

 

 

Bài 12. Cho các số $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và $n\leq 3$. Chứng minh rằng

 

$$a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3n}{a+b+c} \geq 3+n$$

 

Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2013

Dễ thấy $VT-VP \geqslant \frac{(a+b+c-3)(a+b+c-n)}{a+b+c} \geqslant 0$

Do AM-GM ta có $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức vẫn xảy ra khi $a=b=c=1, n\leqslant 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:27

[T M]

Dễ thấy $VT-VP=\frac{(a+b+c-3)(a+b+c-n)}{a+b+c} \geqslant 0$

Do AM-GM ta có $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức vẫn xảy ra khi $a=b=c=1, n\leqslant 3$

 

Mình thấy không thấy " dễ" lắm đâu. Bạn hãy biến đổi một vài bước cơ bản, hoặc đẳng thức bạn dùng để có điều đó nhé.

 

P/S: Mọi người giải bài chịu khó giải chi tiết + nhấn mạnh chỗ đáng lưu ý nhé. Đây là topic ôn thi ĐH gồm nhiều thành phần xem, không phải ai cũng khá BĐT, như mình chẳng hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 20-06-2013 - 16:40

[25 minutes]

Anh không thấy " dễ" lắm đâu. Em hãy biến đổi một vài bước cơ bản, hoặc đẳng thức em dùng để có điều đó nhé.

 

P/S: Mọi người giải bài chịu khó giải chi tiết + nhấn mạnh chỗ đáng lưu ý nhé. Đây là topic ôn thi ĐH gồm nhiều thành phần xem, không phải ai cũng khá BĐT, như mình chẳng hạn

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau 

                     $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant a+b+c$ (*)

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{b^2c}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$

                                 $\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant 3b$

                                 $\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 3c$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có (*) được chứng minh

BDT ban đầu tương đương với 

       $\frac{(a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c)}{a+b+c} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow (a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c) \geqslant 0$

Do $abc=1$ nên ta có $a^2c+b^2a+c^2b=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng (*) ta có $(a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c) \geqslant (a+b+c)^2+3n-(3+n)(a+b+c)=(a+b+c-3)(a+b+c-n) \geqslant 0$

Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM 

                $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ và $n \leqslant 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:42

[T M]

Một bài nhẹ nhàng nữa nhé

 

Bài 13. Cho các số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN của 

 

$$F=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 1 - 2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:42

[vutuanhien]

Một bài nhẹ nhàng nữa nhé

 

Bài 13. Cho các số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN của 

 

$$F=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 1 - 2013

Áp dụng BĐT Cacuhy-Schwarz, ta có $F\leq \sqrt{3(3x^2+7y+5y+5z+7z+3x^2)}=\sqrt{3(6x^2+12y+12z)}\leq \sqrt{3(6x^2+6y^2+6+6z^2+6)}=3\sqrt{10}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Vậy GTLN của F là $3\sqrt{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 20-06-2013 - 16:42

[T M]

Tiếp tục là một bài quen thuộc nhé.

 

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2013

Bài này cũng khá nhiều cách tiếp cận.

[vutuanhien]

Tiếp tục là một bài quen thuộc nhé.

 

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2013

Bài này cũng khá nhiều cách tiếp cận.

Bài này quả là có rất nhiều cách tiếp cận, em xin trình bày 2 cách

Cách 1:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\geq (a+b+c)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\leq (b^2+2)(c^2+2)\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{(b-c)^2}{2}\geq 0$

BĐT này hiển nhiên đúng. Ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách 2:Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì trong 3 số $a^2-1, b^2-1, c^2-1$ phải có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a^2-1$ và $b^2-1$

Suy ra $(a^2-1)(b^2-1)\geq 0$ nên ta có $a^2b^2+1\geq a^2+b^2$

Do đó $(a^2+2)(b^2+2)=a^2b^2+2(a^2+b^2)+4\geq 3(a^2+b^2+1)$

Ta chỉ cần chứng minh $(a^2+b^2+1)(c^2+2)\geq (a+b+c)^2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(a^2+b^2+1)(2+c^2)=(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 20-06-2013 - 17:02

[25 minutes]

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 201

Bất đẳng thức có thể làm mạnh hơn như sau : 

   $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac)$

Chứng minh trên ta chỉ cần áp dụng AM-GM và sử dụng bổ đề hết sức quen thuộc 

                  $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geqslant 2(ab+bc+ac)$

Bài toán mở rộng đã được thảo luận trên Mathlinks

Tìm hằng số $k$ tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng 

                  $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant k(a^2+b^2+c^2)+(9-k)(ab+bc+ac)$

Bài toán trên ứng với $k=4$

[25 minutes]

Bài 15 : Cho $a,b,c \in \left [ 2;4 \right ]$

Tìm GTLN của $P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 19:29

[BoFaKe]

Bài 16 : Cho $a\geq 4;b\geq 5;c\geq 6;a^{2}+b^{2}+c^{2}=90$.Tìm GTNN của $P=a+b+c$.

                                                                                                                          

                                                                                                    Thi thử lần $2$ THPT Đông Sơn 1-2013.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 22-06-2013 - 16:01