Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài
Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.
Các anh chị cho em làm với
Áp dụng BĐT $\frac{1}{t^2}+\frac{1}{p^2}\geq \frac{8}{(t+p)^2}$, ta có
$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}$
(1)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $3y+6=(x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1)\geq 2x+4y+2x\Rightarrow 6\geq 2x+y+2z\Rightarrow 3\geq x+\frac{y}{2}+z$
(2)
Từ (1) và (2) suy ra GTNN của P là $1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=z=1, y=2$