Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT - GTLN GTNN thi thử đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 95 trả lời

#1 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 12:28

Chào các bạn !

 

Như tiêu đề, topic này lập ra để tổng hợp, sưu tầm tất cả các đề thi thử đại học trong một vài năm gần đây.

 

Nguồn có thể là đề thi thử của các trường, các diễn đàn, hoặc đề dự bị của bộ.

 

Hi vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý báu dành cho các bạn.

 

Một vài quy định nhỏ trong topic

 

+/ Viết hoa đầu dòng. Sử dụng font chữ Arial hoặc Times New Roman.

+/ Không sử dụng font chữ quá to.

+/ Gõ Latex đầy đủ, trình bày sáng sủa. Quote đề bài.

+/ Đề bài phải ghi rõ nguồn.

+/ Lời giải không quá tắt, hạn chế sử dụng $\sum$....

+/ Khuyến khích các bài toán giải bằng phương pháp đạo hàm, các bất đẳng thức quen thuộc (thông dụng nhất trong đề thi đại học hiện nay).

+/ Không sử dụng các phương pháp không được dùng trong thi đại học.

 

Chúc các bạn học tốt. 

 

Cảm ơn các bạn.

 

_____

 

Mở màn bằng một bài của trường chuyên Hà Tĩnh.

 

Bài 1. Cho $x;y;z \in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức

 

$$(1+xyz)\left ( \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \right )$$

 

Thi thử A - Chuyên Hà Tĩnh - 2012


ĐCG !

#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-06-2013 - 12:44

Bài 1. Cho $x;y;z \in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức

 

$$(1+xyz)\left ( \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \right )$$

 

Thi thử A - Chuyên Hà Tĩnh - 2012

Dự đoán GTLN là $3$ đạt được khi $(a,b,c)=(0;0;0)=(1;1;1)$ nên ta có cách chứng minh sau : 

            $(1+abc)(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}) \leqslant 3$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1+abc}{1+a^3}-1 \leqslant 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(bc-a^2)}{1+a^3}\leqslant 0$

Dễ thấy $1+a^3 \geqslant a+a^3\Rightarrow \frac{a(bc-a^2)}{1+a^3} \leqslant \frac{a(bc-a^2)}{a+a^3}=\frac{bc-a^2}{1+a^2}$

Lại có $1+a^2 \geqslant 1\Rightarrow \frac{bc-a^2}{1+a^2} \leqslant bc-a^2$

Hay $\frac{a(bc-a^2)}{1+a^3} \leqslant \frac{bc-a^2}{1+a^2} \leqslant bc-a^2$

$\Rightarrow \sum \frac{a(bc-a^2)}{1+a^3} \leqslant\sum bc-a^2=\frac{-1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ] \leqslant 0$

Vậy ta có đpcm


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 12:52

Bài 2. Cho $x;y$ là 2 số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2=2$

 

Chứng minh rằng

 

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y} \geq 4$$

 

Đề 1 - Onluyentoan.vn - 2012


ĐCG !

#4 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 12:58

Bài 1 còn một hướng đi khác, do $x;y \in [0;1]$ nên ta có BĐT phụ sau

 

$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy} \ \ \forall xy\leq 1$$

 

Áp dụng bất đẳng thức này sẽ có $\sum \frac{1}{1+x^3} \leq \frac{3}{1+xyz}$

 

Các bạn thử đi theo hướng này nhé :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 18-06-2013 - 13:01

ĐCG !

#5 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-06-2013 - 13:38

Bài 2. Cho $x;y$ là 2 số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2=2$

 

Chứng minh rằng

 

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y} \geq 4$$

 

Đề 1 - Onluyentoan.vn - 2012

Mình xin lỗi vì đã làm mất đi vẻ đẹp của bài toán  :wacko:

Biến đổi tương đương ta cần chứng minh $x^3(x+2y)+9y^4 \geqslant 4y^2(x+2y)$

Ý tưởng đẫn đến chứng minh là đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc nên ta sẽ chứng minh 

                    $x^3(x+2y)+9y^4 \geqslant 2y^2(x+2y)\sqrt{2(x^2+y^2)}$, do $x^2+y^2=2$

    $\Leftrightarrow \left [ x^3(x+2y)+9y^4 \right ]^2 \geqslant \left [ 2y^2(x+2y)\sqrt{2(x^2+y^2)} \right ]^2$

Khai triển trực tiếp và thu gọn ta được bất đẳng thức tương đương 

                    $x^8+49y^8+4x^6y^2+4x^3y^5+10x^4y^4 - 40x^2y^6-32xy^7\geqslant 0$

Đến đây đặt $t=\frac{x}{y}>0$ ta được $t^8+4t^7+4t^6+10t^4+4t^3-40t^2-32t+49 \geqslant 0$

                                       $\Leftrightarrow (t-1)^2(t^6+6t^5+14t^4+24t^3+43t^2+66t+49) \geqslant 0$

BĐT trên luôn đúng do $t>0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#6 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 13:42

Còn bạn nào có cách khác không ? Cách trên e là không ổn lắm :D


ĐCG !

#7 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-06-2013 - 14:01

Các bạn thử đi theo hướng này nhé :P

Áp dụng bât đẳng thức phụ trên ta có

                    $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leqslant \frac{2}{1+xy}$

                    $\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+t^2} \leqslant \frac{2}{1+zt}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x^2} \leqslant\frac{2}{1+xy}+ \frac{2}{1+zt} \leqslant \frac{4}{1+\sqrt{xyzt}}$

Đến đây ta chỉ cần chọn $t$ sao cho $t=\sqrt[3]{xyz}$

Ta dễ dàng có được $\sum \frac{1}{1+x^2} \leqslant \frac{3}{1+\sqrt[3]{(xyz)^2}}$

Đổi biến $(x^2,y^2,z^2)\rightarrow (a^3,b^3,c^3)$ ta có được 

                    $\left\{\begin{matrix} \sum \frac{1}{1+x^2}=\sum \frac{1}{1+a^3}\\ \frac{3}{1+\sqrt[3]{(xyz)^2}}=\frac{3}{1+abc} \end{matrix}\right.$

Do đó $\sum \frac{1}{1+a^3} \leqslant \frac{3}{1+abc}$

Vậy ta có đpcm

BĐT Tổng Quát :  Cho $0 \leqslant x_i \leqslant 1, i=(1,2,...,n)$, ta luôn có 

             $P=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt[m]{1+x_i}} \leqslant \frac{1}{\sqrt[m]{1+(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}}}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#8 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 18-06-2013 - 15:30

Bài 2. Cho $x;y$ là 2 số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2=2$

 

Chứng minh rằng

 

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y} \geq 4$$

 

Đề 1 - Onluyentoan.vn - 2012

Lời giải bài 2: Đây là lời giải của em. Em nghĩ đây chắc cũng là lời giải của tác giả do thấy nó thuận lợi quá :):

---

 

-Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$$(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y})(x+(x+2y))\ge (\frac{x^2}{y}+3y)^2$$

 

-Lại do $x^2+y^2=2$ nên có:

$$\frac{x^2}{y}+3y=\frac{2-y^2}{y}+3y=2(y+\frac{1}{y})\ge 4$$

(Điểm thuận lợi chính ở đoạn này :P)

 

Thêm vào đó, dễ dàng chứng minh $x+(x+2y)=2(x+y)\le 4$ nên suy ra:

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge \dfrac{4^2}{4}=4$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

 

---

Việc tìm ra lời giải của bài toán là do phát hiện được $x+(x+2y)=2(x+y)\le ...$ và khi $x=y=1$ thì ta cũng đảm bảo được dấu bằng của Cauchy-Schwarz. Ngoài ra còn "ăn may" ở đoạn trên nữa :P


Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#9 hung183461

hung183461

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tăng Bạt Hổ - Hoài Ân - Bình Định
  • Sở thích:Naruto , Yugi-oh ,Power Ranger , Gokaiger

Đã gửi 18-06-2013 - 15:36

Bài 2. Cho $x;y$ là 2 số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2=2$

 

Chứng minh rằng

 

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y} \geq 4$$

 

Đề 1 - Onluyentoan.vn - 2012

 

 

Dạo này phong trào các bài BĐT thi thử đại học nổ ra nhiều ghê , chắc tại BĐT khó  :ohmy:  :ohmy:

 

Ý tưởng tạm thời là đưa bdt về 1 biến, cách làm cực kì thủ công   :wacko:  

Ta có

 $\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{9y^2}{x+2y} \ge \frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+y^2+1}$ ( vì $ y > 0 $ ) 

$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+y^2+1}=\frac{x^3}{2-x^2}+\frac{9(2-x^2)}{x+3-x^2}$ ( vì $ x^2 + y^2 = 2 $ )

 

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh :

 

$\frac{x^3}{2-x^2}+\frac{9(2-x^2)}{x+3-x^2} \ge 4$

$\Leftrightarrow \frac{x^3(x+3-x^2) + 9(2-x^2)^2-4(2-x^2)(x+3-x^2)}{(2-x^2)(x+3-x^2)} \ge0$ 

$\Leftrightarrow \frac{x^5-6x^4-7x^3+16x^2+8x-12}{(2-x^2)(x+3-x^2)} \leq 0$

 

Với nỗ lực bấm máy tính trong tuyệt vọng mình tìm được tử có nghiệm kép là 1 , suy ra 

 

$\frac{ (x-1)^2(x^3-4x^2-16x-12)}{(2-x^2)(x+3-x^2)} \leq 0$  $  (*) $

 

Dễ thấy $  (*) $ luôn đúng với $0 \le x \le \sqrt{2}$

Suy ra đccm  :ukliam2:  :ukliam2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung183461: 18-06-2013 - 15:40

:ukliam2: Untitled_zps0e9f0b26.png :ukliam2:


#10 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 18-06-2013 - 15:43



Bài 4. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương tùy ý thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm GTLN của biểu thức

 

$$S=\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$$

 

Đề 7 - THPT chuyên Nguyên Tất Thành - Kon Tum - 2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 18-06-2013 - 15:45

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#11 hung183461

hung183461

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tăng Bạt Hổ - Hoài Ân - Bình Định
  • Sở thích:Naruto , Yugi-oh ,Power Ranger , Gokaiger

Đã gửi 18-06-2013 - 16:07

 

Bài 4. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương tùy ý thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm GTLN của biểu thức

 

$$S=\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$$

 

Đề 7 - THPT chuyên Nguyên Tất Thành - Kon Tum - 2013

 

 

Ta có :

 

$S=\dfrac{ab}{\sqrt{ac+ bc+ c^2+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{ab+ ac + a^2+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ab + bc +b^2+ca}}$

$=\dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+ \dfrac{ac}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

Áp dụng Bđt $ AM-GM$ ta có 

$S\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c} +\frac{ab}{b+c} + \frac{bc}{a+b}+ \frac{bc}{a+c} + \frac{ac}{a+b} + \frac{ac}{b+c})$

$\Leftrightarrow S\leq \frac{1}{2}(a+b+c) = 1$

 Suy ra GTLN của $S$ là $1$ khi $ a=b=c=\frac{2}{3} $


:ukliam2: Untitled_zps0e9f0b26.png :ukliam2:


#12 sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quế Võ-Bắc Ninh
  • Sở thích:Toán, bóng đá

Đã gửi 18-06-2013 - 16:51

Bài 5: Cho ba số dương a,b,c thảo mãn $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=2$.Chứng minh bất đẳng thức

$$\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}}\leq1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 18-06-2013 - 17:45


#13 sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quế Võ-Bắc Ninh
  • Sở thích:Toán, bóng đá

Đã gửi 18-06-2013 - 17:04

Bài 6 :Cho a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2$ khác không. Chứng minh rằng 

$$\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2} \geq 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 18-06-2013 - 17:36


#14 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 17:22

Cho a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2$ khác không. Chứng minh rằng 

$$\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2}$$

 

Bạn phải gõ số bài + nguồn bài nhé. 2 bài bạn post lần lượt là bài 5,6.

 

_____

 

Bài 7. Cho các số dương $a \neq b$ thỏa mãn $a^2+2b=12$. Tìm GTNN của 

 

$$P=\frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4}+\frac{5}{8(a-b)^2}$$

 

Đề thi thử lần 4 - Chuyên ĐH Vinh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 18-06-2013 - 17:23

ĐCG !

#15 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-06-2013 - 17:45

Bài 5: Cho ba số dương a,b,c thảo mãn $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$.Chứng minh bất đẳng thức

$$\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}}\leq1$$

Áp dụng AM-GM ta có

         $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \geqslant \frac{16}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}} \geqslant \frac{16}{4\sqrt{\frac{a+3b}{4}}}=\frac{8}{\sqrt{a+3b}}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có

        $4(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}) \geqslant \frac{8}{\sqrt{a+3b}}+\frac{8}{\sqrt{b+3c}}+\frac{8}{\sqrt{c+3a}}$

 $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \geqslant \frac{2}{\sqrt{a+3b}}+\frac{2}{\sqrt{b+3c}}+\frac{2}{\sqrt{c+3a}}$

Kết hợp giả thiết ta có $\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}} \leqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{9}{4}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#16 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 18-06-2013 - 18:10

Bài 8: Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN của:
$P=x+y+z$

 

Đề thi thử ĐH trường THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#17 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 18-06-2013 - 18:21

Bài 8: Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN của:
$P=x+y+z$

 

Đề thi thử ĐH trường THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh

 

Vietnamese IMO TST 2001 :v


ĐCG !

#18 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 18-06-2013 - 19:59

Vietnamese IMO TST 2001 :v

 

Bài 8: Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN của:
$P=x+y+z$

 

Đề thi thử ĐH trường THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh

Trùng thì post lại lời giải vậy :3

Từ giải thiết ta có :$z=\frac{2x+4y}{2xy-7}$

Ta có :$$P=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}$$

$$=x+\frac{11}{2x}+\frac{2xy-7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\geq x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{\frac{2xy-7}{2x}\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}}$$

$$= x+\frac{11}{2x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}$$

Theo C-S thì

$$(3+\frac{7}{x})^{2}\leq (9+7)(1+\frac{7}{x^{2}})=16(1+\frac{7}{x^{2}})$$

$$\Rightarrow 2\sqrt{1+\frac{7}{x^{2}}}\geq \frac{1}{2}(3+\frac{7}{x})$$

Do vậy:

$$P\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2}(3+\frac{7}{x})\geq \frac{3}{2}+(x+\frac{9}{x})\geq \frac{15}{2}$$

 

Vậy $min P=\frac{15}{2}$ khi $x=3;y=\frac{5}{2};z=2$


~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#19 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 18-06-2013 - 20:41

Bài 6 :Cho a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2$ khác không. Chứng minh rằng 

$$\frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2-ca}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2} \geq 0$$

 

Viết bất đẳng thức lại thành:

$$\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq 3$$

 

Mặt khác theo C-S ta có :

$$\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}$$

$$\frac{(c+a)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}\leq \frac{c^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}$$

$$\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}$$

 

Cộng lại ta có điều phải chứng minh.


~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#20 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-06-2013 - 21:06

Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài :D

 

Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

 

THTT tháng 5 năm 2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-07-2013 - 11:45

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh